Модифицированный метод Марковица
Исторически первым методом оптимизации фондового портфеля был метод, предложенный в [8.1]. Суть его в следующем.
Пусть портфель содержит N типов ценных бумаг (ЦБ), каждая из которых характеризуется пятью параметрами:
начальной ценой Wi0 одной бумаги перед помещением ее в портфель;
- числом бумаг ni в портфеле;
- начальными инвестициями Si0 в данный портфельный сегмент, причем
Si0 = Wi0 ´ ni; (8.1)
среднеожидаемой доходностью бумаги ri;
ее стандартным отклонением si от значения ri.
Из перечисленных условий ясно, что случайная величина доходности бумаги имеет нормальное распределение с первым начальным моментом ri и вторым центральным моментом si. Это распределение не обязательно должно быть нормальным, но из условий винеровского случайного процесса нормальность вытекает автоматически.
Сам портфель характеризуется:
- суммарным объемом портфельных инвестиций S;
- долевым ценовым распределением бумаг в портфеле {xi}, причем для исходного портфеля выполняется
|
|
; (8.2)
корреляционной матрицей {rij}, коэффициенты которой характеризуют связь между доходностями i-ой и j-ой бумаг. Если rij = -1, то это означает полную отрицательную корреляцию, если rij = 1 - имеет место полно положительная корреляция. Всегда выполняется rii = 1, так как ценная бумага полно положительно коррелирует сама с собой.
Таким образом, портфель описан системой статистически связанных случайных величин с нормальными законами распределения. Тогда, согласно теории случайных величин, ожидаемая доходность портфеля r находится по формуле
, (8.3)
а стандартное отклонение портфеля s -
. (8.4)
Задача управления таким портфелем имеет следующее описание: определить вектор {xi}, максимизирующий целевую функцию r вида (8.3) при заданном ограничении на уровень риска s, оцениваемый (8.4):
=const £ sM, (8.5)
где sM – риск бумаги с максимальной среднеожидаемой доходностью. Запись (8.5) есть не что иное, как классическая задача квадратичной оптимизации, которая может решаться любыми известными вычислительными методами.
Замечание. В подходе Марковица к портфельному выбору под риском понимается не риск неэффективности инвестиций, а степень колеблемости ожидаемого дохода по портфелю, причем как в меньшую, так и в большую сторону. Можно без труда перейти от задачи вида (8.5) к задаче, где в качестве ограничения вместо фиксированного стандартного отклонения выступает вероятность того, что портфельная доходность окажется ниже заранее обусловленного уровня.
|
|
Если задаваться различным уровнем ограничений по s, решая задачу (8.5), то можно получить зависимость макимальной доходности от s вида
rmax = rmax (s) (8.6)
Выражение (8.6), именуемое эффективной границей портфельного множества, в координатах «риск-доходность» является кусочно-параболической вогнутой функцией без разрывов. Правой точкой границы является точка, соответствующая тому случаю, когда в портфеле оказывается одна бумага с максимальной среднеожидаемой доходностью.
Подход Марковица, получивший широчайшее распространение в практике управления портфелями, тем не менее имеет ряд модельных допущений, плохо согласованных с реальностью описываемого объекта - фондового рынка. Прежде всего это отсутствие стационарности ценовых процессов, что не позволяет описывать доходность бумаги случайной величиной с известными параметрами. То же относится и корелляции.
Если же мы рассматриваем нашу ценовую предысторию как квазистатистику, то нам следует моделировать ее многомерным нечетко-вероятностным распределением с параметрами в форме нечетких чисел. Тогда условия (8.3) – (8.5) запиываются в нечетко-множественной форме, и задача квадратичной оптимизации также решается в этой форме. Решением задачи является эффективная граница в виде нечеткой функции полосового вида (см. главу 2). Ее следует привести к треугольному виду по обычным правилам.
Тогда, если нам заданы контрольные нормативы по доходности и риску (бенчмарк), которые нам следует соблюсти в нашем портфеле, увеличивая доходность и одновременно снижая риск, то риск того, что мы не добъемся поставленной цели, определяется способами, изложенными в главе 4 настоящей книги.
Итак, изложение модифицированного подхода Марковица завершено. Далее по тексту главы мы считаем, что имеем дело с квазистатистикой по ценным бумагам в портфеле, которая моделируется нами посредством N-мерного нечетко-вероятностного распределения. Оценив параметры этого распределения как нечеткие числа, мы решаем задачу квадратичной оптимизации в нечеткой постановке, получая эффективную границу в форме криволинейной полосы.
Метод оптимизации портфелей на долговых обязательствах
В главе 6 работы мы предложили принципы учета долговых обязательств в фондовом портфеле, предполагая, что курсовые цены этих бумаг будут рассмотрены как случайные процессы, в которых можно будет выделить тренд и шум. Параметры случайных процессов могут быть также определены.
Предположим, что доходности долговых бумаг являются случайными процессами, в сечении которых лежат нормально распределенные случайные величины. В этом случае на классе долговых обязательств можно ставить и решать задачу оптимизации по Марковицу [8.1]. Продемонстрируем это на примере из двух бумаг - дисконтной и процентной.