Полуобратный метод Сен-Венана

Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциаль­ных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при реше­нии прямой задачи часто используют приближенные методы, например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Буб­нова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за пос­леднее время широкое применение метод конечных элементов. В неко­торых же случаях решение можно эффективно получить с помощью, так называемого полуобратного метода Сен-Венана.

Сущность полуобратного метода Сен-Венана состоит в том, что при решении конкретной задачи, например, в напряжениях задаются из соображений физического характера задачи некоторыми компонен­тами тензора напряжений и затем определяют остальные компоненты  (x_k)  из уравнений равновесия (6.3) при выполнении условий сов­местности Бельтрами — Мичелла (6.51) или (6.54) и граничных условий (6.6).

Может случиться, что сделанные предположения о значениях не­которых компонент тензора напряжений будут противоречить или уравнениям равновесия, или граничным условиям, или условиям совместности Бельтрами — Мичелла. В этих случаях следует сделать иные предположения о значениях части компонент  (x_k), исходя, например, из известных решений аналогичных задач. В этом смысле полуобратный метод Сен-Венана не является совершенным. Однако ког­да сделанные предположения о значениях некоторых компонент тен­зора напряжений или для некоторых компонент вектора перемещения, если задача решается в перемещениях, не противоречат всем основным уравнениям граничной задачи, то полученное решение полуобратным методом является точным и на основании теоремы о единственности однозначным.

Сен-Венан применил (1855) полуобратный метод при решении за­дачи об упругом равновесии призматического бруса произвольного по­перечного сечения, находящегося под действием поверхностной наг­рузки на его торцах. Эта задача, представляющая большой прак­тический интерес (кручение и изгиб призматического бруса), назы­вается задачей Се н - В е н а н а.

Принцип Сен-Венана

Существенные математические осложнения при решении прямой задачи возникают вследствие необходимости удовлетворения конк­ретным ее граничным условиям. Вместе с тем из соображений физи­ческого характера ясно, что точное осуществление распределения поверхностных сил на некоторых участках поверхности S_t тела, на которых это распределение предпо­лагается заданным, как определенные граничные условия, практически вряд ли осуществимо. Во многих задачах по­верхностные силы, приложенные к не­которым участкам поверхности тела, известны только суммарно, т. е. как их главный вектор и главный мо­мент, а закон распределения поверх­ностных сил известен лишь примерно или вообще неизвестен. Таким образом, наряду с математическими трудностями, с которыми приходится встречаться при решении граничных задач теории упру­гости, имеют место затруднения и в точной формулировке граничных условий. Эти трудности значительно уменьшаются благодаря так на­зываемому принципу Сен-Венана, который опубликован в известном мемуаре Сен-Венана «О кручении призм» (1855).

Принцип Сен-Венана утверждает, что если к небольшому участку поверхности тела приложена система сил, главный вектор и главный момент которой равны нулю, то эта система сил вызывает ло­кальное напряженно-деформированное состояние, быстро убывающее по мере удаления от участка приложения сил.

В порядке подтверждения этого принципа Сен-Венан ссылается на свои опыты с каучуковыми стержнями. На рис. 6.1 приведен один из примеров, когда две равные и противоположно направленные силы, действуя на каучуковый стержень, вызывают по существу лишь его местную деформацию, а на основной своей длине стержень практически не деформируется.

Рис.6.1

Принцип Сен-Венана можно сформулировать также следующим об­разом: если некоторую совокупность поверхностных сил на сравнитель­но малой части поверхности тела заменить статически эквивалент­ной системой сил, действующих на той же части поверхности, то та­кая замена сил практически не изменит напряжений и перемещений в точках, удаленных от площадки приложения сил на расстояния, не меньшие наибольшего линейного размера этой площадки.

Принцип Сен-Венана позволяет удовлетворять граничные условия интегрально, т. е. удовлетворять по конкретному закону распреде­ления поверхностных сил, а их главному вектору и главному моменту.

Принцип Сен-Венана достаточно хорошо подтверждается экспе­риментально, хотя еще и сейчас не имеет законченного теоретического обоснования.