Уравнения упругого равновесия в перемещениях

Некоторые прямые задачи, в частности задачи второго типа, удоб­но решать в перемещениях. При этом основные уравнения следует выразить через перемещения.

Уравнения упругого равновесия в перемещениях получим путем исключения компонент тензора напряжений  (x_k) из уравнений рав­новесия (6.3), используя формулу закона Гука (6.4).

Продифференцируем равенство (6.4) по координате х_j:

                                      (6.9)

Учитывая, что и

(6.10)
а также используя дифференциальный оператор Лапласа

 

равенство (6.9) приводится к виду

На основании соотношения и тогда

                                       (6.11)

Используя равенство (6.11), дифференциальные уравнения равно­весия (6.3) приводятся к виду

                                                                  (6.12)

Равенство (6.12) определяет три дифференциальных уравнения:

                                                            (6.13)

которые представляют собой уравнения упругого равновесия в перемещениях, т. е. они выражают условия равновесия каждого элемента тела в зависимости от функций u_i (x_k)и  (х_к), характеризующих деформированное состояние тела, и при этом учитывают соотношения между  и  для однородного изотроп­ного тела. Можно сказать, что эти уравнения отражают геометриче­скую, статическую и физическую стороны задачи теории упругости.

Уравнения (6.13), или равенство (6.12), определяющее их, назы­ваются уравнениями Ламе. Они могут быть записаны в виде одного векторного уравнения.

Умножая равенство (6.12) на орт э _i и учитывая, что

,                                                                           (6.14)

а также используя равенство (6.10), получим

                                                     (6.15)

Уравнение (6.15) можно записать в другой, иногда более удобной, форме:

 (6.16)

 

Во многих задачах массовые силы можно считать равными нулю и тогда уравнения Ламе (6.12) принимают вид

                                                                        (6.17)

Продифференцировав равенство (6.17) по координате x_i, получим

Отсюда, поскольку  =  и  = , вытекает, что

                                                                                     (6.18)

т. е. объемная деформация Θ (при отсутствии массовых сил или когда они постоянны) удовлетворяет уравнению Лапласа и, следователь­но, Θ является гармонической функцией.

Применяя к равенству (6.17) дифференциальный оператор Лап­ласа и учитывая свойство (6.18), получим

                                                                                (6.19)

т. е. компоненты  вектора перемещения являются бигармоническими функциями. Это заключение справедливо и при постоянных массовых силах, так как в этом случае при выполнении операций дифферен­цирования правая часть равенства (6.12) исчезает.

Заметим, что уравнения (6.19) не означают, конечно, что перемеще­ния  (при отсутствии массовых сил) являются произвольными бигармоническими функциями; эти функции должны удовлетворять так­же и дифференциальным уравнениям более низкого порядка — урав­нениям Ламе (6.12).

При решении в перемещениях основной задачи первого типа для искомых функций  (x_k) необходимо иметь условия на границе тела в зависимости от приложенных поверхностных сил.

На основании формулы (6.4) закона Гука имеем

или, если учесть, что  = , а

представляет собой производную функции  (x_k) по нормали к по­верхности тела, то

                              (6.20)

Тогда граничные условия (6.6) принимают вид

                      (6.21)

Уравнения Ламе (6.12) вместе с граничными условиями (6.21), т. е. в случае основной задачи первого типа, или вместе с граничными условиями (6.7) основной задачи второго типа вполне определяют все три компоненты  вектора перемещения. Далее, по формуле (6.1) вычисляются компоненты тензора деформации, а по формуле (6.4) находятся компоненты  тензора напряжений.

Совершенно ясно, что решение в перемещениях основной задачи первого типа, т. е. при граничных условиях (6.21), более затрудни­тельно, чем решение основной задачи второго типа при значительно более простых граничных условиях (6.7). Поэтому для задач первого типа обычно предпочтительнее решение в напряжениях.

Очевидно, что уравнения движения при малых перемещениях могут быть записаны в перемещениях в любом из трех видов:

                                                         (6.22)

                                      (6.23)

                           (6.24)

В приведенных уравнениях движения перемещения  являются, естественно, функциями координат x_k точек тела и времени t: .

Решение уравнений движения (6.22) должно удовлетворять началь­ным условиям — условиям в начале движения, т. е. при t = 0 пере­мещения  и их производные по времени t (скорости ) должны иметь заданные значения  и :

                                                                              (6.25)