Прямая и обратная задачи теории упругости

Различают две постановки задач теории упругости: прямую и обратную.

Прямая задача состоит в решении одной из основных задач указанных трех типов, т. е. в определении девяти функций  (x_k) и u_i (x_k), определяющих напряженно-деформированное сос­тояние тела в зависимости от внешнего воздействия на него.

Решение прямой задачи часто сопряжено с большими математическими трудностями.

Обратная задача состоит в том, что, задавшись либо пе­ремещениями u_i как непрерывными функциями u_i = u_i(x_k), либо компонентами тензора напряжений, т. е. шестью функциями  =  (x_k), определяют из основных уравнений (6.1) — (6.4) и соответ­ствующих граничных условий все остальные функции, а также внешние силы, осуществляющие заданные перемещения u_i или заданные функ­ции

Решение обратной задачи значительно проще, чем решение прямой задачи. Особенно просто решается обратная задача, если задаться перемещениями u_i. При заданных непрерывных функциях u_i = u_i(x_k) дифференциальные зависимости Сен-Венана тождественно удовлетворяются и, следовательно, в этом случае они не используют­ся. Решение этой обратной задачи выполняется в следующем порядке: на основании формулы закона Гука (6.4) определяются компоненты тен­зора напряжений  (x_k), соответствующие принятым функциям u_i(x_k), а из уравнений равновесия (6.3) и граничных условий (6.6) определяются внешние силы, при которых осуществляются заданные перемещения.

Если задаваться компонентами тензора напряжений  (x_k),  то решение обратной задачи будет несколько сложнее. В этом случае перемещения u_i(x_k) находятся интегрированием уравнений (6.1), что возможно, если компоненты тензора деформации  (x_k), которые определяются формулой (6.5) закона Гука по принятым функциям  (x_k),   будут удовлетворять дифференциальным зависимостям Сен-Венана (6.2). Следовательно, компонентами тензора напряжений  (x_k) надо задаваться так, чтобы выполнялись условия совместности (6.2). Это обстоятельство и осложняет решение данной обратной задачи. Но решение и этой обратной задачи для односвязной области проще, чем решение прямой задачи.

Представим, что для определенной простой формы упругого тела при некоторых ограничениях его нагружения, задаваясь различными вариантами, например, функций  (x_k),  определили реализующие их внешние силы. Располагая набором таких решений обратной задачи, путем их комбинирования можно подобрать функции  (x_k),  кото­рые будут соответствовать заданным конкретным нагрузкам, прило­женным к рассматриваемому телу. Таким приемом можно решить, например, некоторые задачи для прямоугольных полос, различно на­груженных по контуру. Однако в более общем случае упругого тела приходится решать прямую задачу теории упругости.

Прямую задачу удобно решать, если за основные неизвестные функции, определяемые в первую очередь, принимаются либо переме­щения u_i(x_k), либо напряжения  (x_k). Эти два пути решения прямой задачи называют соответственно решением в перемещениях и решением е напряжениях.