Нахождение собственных значений матрицы методом Леверрье

Процедура определяет коэффициенты характерестического полинома

матрицы A. Положим:

тогда справедливы формулы Ньютона:

Отсюда получаем линеиную алгебраическую систему:

Из которой шаг за шагом определяются коэффицитенты p₁,...,p_n. Следует заметить, что s_k равен следу матрицы A^k, которая находятся непосредственным перемножением используя алгоритм умножения матриц <http://doors.infor.ru/allsrs/alg/linalg/index.html>.

Методика решения задачи

. Для заданной матрицы А составить характеристическое уравнение (2.5): .

Для развертывания детерминанта можно использовать различные методы, например метод Крылова, метод Данилевского или другие методы [2,9,14].

. Решить характеристическое уравнение и найти собственные значения . Для этого можно применить методы, изложенные в разд. 3.1.

. Для каждого собственные значения составить систему (2.4):

, ,

и найти собственные векторы .

Замечание. Каждому собственному значению соответствует один или несколько векторов. Поскольку определитель системы равен нулю, то ранг матрицы системы меньше числа неизвестных: и в системе имеется ровно независимых уравнений, а уравнений является зависимыми. Для нахождения решения системы следует выбрать уравнений с неизвестными так, чтобы определитель составленной системы был отличен от нуля. Остальные неизвестных следует перенести в правую часть и считать параметрами. Придавая параметрам различные значения, можно получить различные решения системы. Для простоты, как правило, попеременно полагают значение одного параметра равным 1, а остальные 0.

Пример. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

Решение. Составляем характеристическую матрицу :

Находим характеристический многочлен

Решим характеристическое уравнение

Подбором находим, что один корень уравнения равен . Есть теорема, которая говорит, что если число является корнем многочлена , то многочлен делится на разность , то есть , где - многочлен. В соответствии с этой теоремой многочлен должен делиться на . Выделим в характеристическом многочлене этот множитель :

Находим корни трехчлена . Они равны и 3. Таким образом,

- корень кратности 2 17.7 b, - простой корень. Итак, собственные числа матрицы равны , . Найдем соответствующие им собственные векторы. Пусть , тогда для собственного вектора получаем матричное уравнение

что соответствует системе уравнений

Решаем ее методом Гаусса (раздел "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)" <http://dvoika.net/matem/sem1/node54-1.html>). Выписываем расширенную матрицу системы

Первую строку, умноженную на числа и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам

Меняем местами вторую и третью строки

Возвращаемся к системе уравнений

Базисный минор матрицы находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальня система содержит только одно решение. Переменные и оставляем в левой части, а переменное переносим в правую часть

Полагаем , находим , . Итак, собственному числу соответствует собственный вектор .

Пусть , тогда для собственного вектора получаем матричное уравнение

что соответствует системе уравнений

Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу

Первую строку умножаем на числа 2 и 3 и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам

Вторую строку умножаем на и прибавляем к третьей

Возвращаемся к системе уравнений

Базисный минор матрицы находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальная система содержит только одно решение. Переменные и оставляем в левой части, а переменное переносим в правую часть

Полагаем , находим , . Итак, собственному числу соответствует собственный вектор . Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу соответствует собственный вектор .

Ответ: Собственные числа: , , соответствующие собственные векторы: , .

Вычислительные методы частичной проблемы собственных значений

Метод итераций

Для решения частичной проблемы собственных значений и собственных векторов в практических расчетах часто используется метод итераций (степенной метод). На его основе можно определить приближенно собственные значения матрицы А и спектральный радиус .