Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений

Степенной метод применяется для нахождения максимального по модулю собственного значения матрицы. k-ое приближение к этому значению вычислется так:

 , (10.1)

Теорема 10.1. Пусть матрица A имеет полную систему из ортонормированных собственных векторов e_i, которым соответсвуют собственные значения l⁽ⁱ⁾, причем

|l⁽¹⁾| > |l⁽²⁾| ³... ³ |l⁽ⁿ⁾| (т.е. вектора занумерованы в порядке невозрастания модуля собственного значения, причем собственное значение l⁽¹⁾ - не кратное).

Тогда итерационный процесс (10.1) сходится к собственному значению l⁽¹⁾, причем

.(10.2).

При этом величины  сходятся к собственному вектору e₁ (c точностью до постоянного сомножителя, по модулю равного 1):

.(10.3)

4. Программное обеспечение некоторых алгоритмов нахождения собственных значений и собственных векторов

Матрица как математический объект возникает при решении конкретных вычислительных задач, и в первую очередь при решении систем линейных алгебраических уравнений и задач на собственные значения. Матрица в виде прямоугольной таблицы чисел очень схожа с массивом, однако прикладные задачи, которые порождают матрицы, определяют для них специальную совокупность допустимых операций, среди которых особое место занимает операция умножения. Для простейшего случая, когда умножается вектор-строка на вектор-столбец, такой операцией является операция скалярного произведения.

Матрицы широко используются при решении обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнений в частных производных, решении оптимальных задач и т. п.

Алгебраические задачи, связанные с матрицами, объединяются в раздел математики, получивший название линейной алгебры, который включает такие базисные задачи, как обращение и псевдообращение матриц, спектральное и сингулярное разложение матриц.

В вычислительном плане раздел линейной алгебры поддержан пакетами прикладных программ LINPACK, EISPACK, разработанными в 60-70-е годы ведущими специалистами, к числу которых принадлежит и основатель фирмы The MathWorks, Inc. Моулер (C. Moler). Изначальное назначение системы MATLAB состояло именно в том, чтобы создать диалоговую среду для работы с пакетами программ линейной алгебры.

Несмотря на кажущуюся завершенность, этот раздел развивается и в настоящее время в направлении создания новых операций: для работы с парами матриц (приведение пары матриц к форме Шура, рекуррентное сингулярное разложение пары прямоугольных матриц), решения матричных полиномов и полиномиальных матричных уравнений.

Рассмотрим функции системы MATLAB, которые поддерживают работу с матрицами, в следующей последовательности: характеристики матриц, решение систем линейных уравнений, вычисление собственных значений и сингулярных чисел, вычисление функций от матриц, работа с алгебраическими полиномами.