Задача о перемещении точки

Пусть v=v(t) скорость прямолинейного движения точки, заданная на некотором промежутке времени [ t₁; t₂ ]. При этом пусть v(t)>0. Как выразится длина пути, пройденного точкой за данный промежуток времени?[5]

Обозначим координату движущейся точки в момент t через S(t). Тогда, так как движение при v>0 происходит только в положительном направлении (или иначе, т. к. S(t) – функция возрастающая, ввиду того, что ), то искомое расстояние будет выражаться числом S(t₂)-S(t₁). С другой стороны S(t) есть первообразная функции v(t) (). Таким образом вычисление длины пути, пройденного точкой за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной S(t) функции v(t), т. е. к интегрированию функции v(t).

  Разность S(t₂)-S(t₁) называют интегралом от функции v(t) на отрезке [ t₁; t₂ ] и обозначают так:

.

Импульс силы.

Пусть на тело массой m в течение времени t действует какая-то сила F(t). Найти количество движения тела при заданной зависимости силы от времени за промежуток времени [ t₁; t₂ ].

Как известно из физики второй закон Ньютона в импульсном представлении выражает уравнение

Δ Р = F Δ t.

Произведение P=mv(t) массы на скорость называется «количеством движения». Так как скорость тела зависит от времени, то за промежуток времени [ t₁; t₂ ] искомое количество движения может быть найдено так: Р(t₂)-Р(t₁). С другой стороны Р(t) есть первообразная функции F(t). Таким образом вычисление количества движения тела за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной Р(t) функции F(t).

  Разность P(t₂)-P(t₁) называют интегралом от функции F(t) на отрезке [ t₁; t₂ ] и обозначают так:

.

Величина  называется также «импульсом силы» за время [ t₁; t₂ ]. Словесная формулировка результата: изменение количества движения равно импульсу силы.