Введение понятия интеграла с помощью физических моделей

После анализа достоинств и недостатков школьных учебников математики относительно темы «Интеграл», после ознакомления с некоторыми учебниками физики и, учитывая психолого-педагогические и методические основы изучения интеграла, мною была разработана методика изучения понятия интеграла с использованием физических моделей в школьном курсе математики, представленная в данной главе.

Нижеследующая методика введения понятия интеграла с помощью задач физики разрабатывалась мной на основе следующего факта.

Физические величины, вычисляемые с помощью интеграла, можно разделить на два типа, в зависимости от того, как они естественно определяются. К первому типу относятся «первичные» величины (длина пути, масса, количество электричества, количество теплоты и т. п.), т. е. такие величины, для которых другие, связанные с ними («вторичные») величины (соответственно скорость, линейная плотность, величина тока, удельная теплоемкость и т. п.) определяются как производные этих величин. Ко второму типу относятся такие, которые определяются естественным образом как интегралы от «первичных» по отношению к ним величин (например, площадь, работа). Для первого типа величин интегральная формула для их вычисления может и должна быть доказана, опираясь на известное из предыдущего материала определение «вторичной» величины как производной от данной «первичной». Для второго типа интегральная формула появляется по определению.[5]

В соответствии с этим рассмотрим описанные в первой главе подходы на конкретных физических моделях из разных разделов физики (механика, электродинамика, кинематика и др.), уделив особое внимание второму подходу, поскольку в школьных учебниках он практически не используется.

  При введении понятия интеграла как предела интегральных сумм довольно наглядным и понятным для учащихся является пример задачи о давлении жидкости на стенку.

Задача. Бассейн высоты H наполнен водой. Вычислить давление воды на прямоугольную стенку бассейна с основанием прямоугольника, равным а.

Разделим высоту Н на n равных частей (Δ h). Стенка разделится на «элементы». Так как кубометр воды весит тонну, то давление столба жидкости высоты h_i м, имеющего сечение 1 м², равно h_i тоннам.

Давление же воды на элемент, находящийся на глубине h_i, равно произведению h_i на площадь элемента: h_ia Δ h. Обозначим произведение h_ia через F(h_i). Тогда величина давления на всю стенку приближенно равна  

P_n≈ F₁(h₁) Δ h₁+…+F_n(h_n) Δ h_n.

Данную сумму называют интегральной суммой функции F(h) на отрезке [ 0; H ]. При этом предполагается, что функция F(h) непрерывна на отрезке [ 0; H ] и может принимать любые значения. Если  и высоты «элементов» стремятся к нулю, то точное выражение суммы равно . Его называют определенным интегралом от функции F(h) на отрезке [ 0; H ] и обозначают .

Далее понятие определенного интеграла обобщается на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [ a; b ].

Рассмотрим несколько задач с физическими моделями, где интеграл определяется как приращение первообразной.