Использование свойств интеграла

№1. Вычислите силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м. [4]

Решение. Сила давления воды зависит от глубины х погружения площадки: P(x)=ax, где а – площадь площадки. Получаем

 (т).

№2. Тело массой 1 движется с ускорением, меняющимся линейно по закону a(t)= 2 t- 1. Какой путь пройдёт тело за 4 единицы времени от начала движения t= 0, если в начальный момент его скорость равнялась 2?

Решение. Скорость тела в любой момент времени t вычисляется по формуле

v=v₀+at.

Используя данные задачи, получаем:

.

№3. Тело брошено с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью v₀. Какова наибольшая высота, достигаемая телом? [5]

Решение. Скорость тела в любой момент времени t движения равна разности начальной скорости и скорости gt, вызванной ускорением, определяемым силой тяжести: v=v₀-gt. Движение вверх будет происходить при v=v₀-gt>0, т. е. при . Таким образом, максимальная высота полета равна

.

Введение новой переменной.

№1. Задан закон изменения скорости движения материальной точки по прямой:  (время t в секундах, скорость v в метрах в секунду). Какой путь пройдёт точка за 13 с от начала движения (t=0)?

Решение. В качестве новой переменной введем величину, стоящую в скобках. Назовем её z,

z= 2 t+ 1.

При этом надо также от дифференциала dt перейти к дифференциалу dz. Получим

dz =2 dt, dt=dz/2.

Вычислим сначала неопределенный интеграл,

Таким образом,

 м/c.

№2. Вычислить количество электричества, протекающее через цепь за промежуток времени [0,01; 1], если ток изменяется по формуле .

Решение. За элементарный промежуток времени протекает количество электричества

dq=I(t)dt.

В качестве новой переменной введем величину, стоящую в скобках.

.

Тогда dt = du.

Значит, общее количество электричества равно

.

№3. Точка движется по прямой. В начальный момент t= 1 с её скорость равна 1 м/с, а затем уменьшается по закону . Найдите длину пути, пройденного точкой за 4 с от начального момента времени.