2020-04-20
95
Покажемо, нарешті, що кожен інтеграл типу (7) може бути представленим у формі
(8)
де k – деякий додатній правильний дріб: 0<k<1. Назвемо цю форму канонічною.
Введемо скорочено
Не зменшуючи загальності, дозволяється вважати тут А = ± 1; крім того, для визначеності обмежимося додатніми значеннями t. Розглянемо тепер різні можливі комбінації знаків A, m, m’ і вкажемо для кожного випадку підстановку, що безпосередньо приводить інтеграл (7) в канонічну форму.
1) А = +1, 
(
). Для того, щоб радикал мав дійсні значення, необхідно, щоб було 
або 
Припускаємо, що
де 0<z<1 або 
Тоді
так, що за k тут треба прийняти 
2) А = +1, 
(h, h’>0). Для того, щоб радикал мав дійсні значення, обмежимося значеннями .
Припускаємо, що
де 0 < z ≤ 1.
Тоді
і можна взяти 
3) А = +1, 
(h>h’>0). Зміна t нічим не обмежена. Припустимо
де 0≤z<1.
В цьому випадку
і 
4) А = -1, 
(h, h’>0). Зміна t обмежена нерівністю 
. Беремо
, де 0<z<1,
так, що
і 
.
5) А = -1, 
(h>h’>0). Змінна t може змінюватися лише між 
і 
. Припустимо
, де 0<z<1.
Маємо
і 
Цим вичерпуються всі можливі випадки, тому що у випадку, коли А = -1 і обидва числа m, m’ > 0, радикал взагалі не міг би мати дійсних значень. Про множник 
ми не говорили нічого, тому що у всіх випадках він, очевидно, перетворювався у раціональну функцію від 
.
Відмітимо ще, що розглядаючи інтеграл (8), ми можемо обмежуватися значеннями z<1; випадок 
приводиться до цього підстановкою 
, де 
<1.
