Свойства операции нахождения декартова (прямого) произведения

1) Так как декартовы произведения А ´ B и В ´ А состоят из различных элементов, то операция нахождения декартова произведения множеств свойством коммутативности не обладает.

2) Аналогично рассуждая, можно доказать, что для этой операции не выполняется и свойство ассоциативности.

3) Но она дистрибутивна относительно объединения и разности множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства:

(A È B) ´ С = (A ´ С) È (B ´ С), (A \ B) ´ С = (A ´ С) \ (B ´ С).

ПРИМЕР. Проверьте справедливость свойства дистрибутивности декартова произведения относительно объединения, если: А = {3; 4; 5},
В = {5; 7}, С = {7; 8}.

РЕШЕНИЕ. Найдем объединение множеств А и В: A È B = {3; 4; 5;7}. Далее перечислим элементы множества (A È B)´ С, используя определение операции декартова произведения множеств: (A È B)´ С = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Чтобы найти элементы множества (A ´ С) È (B ´ С), перечислим сначала элементы множеств А ´ С и В ´ С:

А ´ С = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8)}

В ´ С = {(5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Найдем объединение полученных декартовых произведений:

(A ´ С) È (B ´ С) = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.

Видим, что множества (A È B) ´ С и (A ´ С) È (B ´ С) состоят из одних и тех же элементов, следовательно, для данных множеств А, В и С справедливо равенство (A È B) ´ С = (A ´ С) È (B ´ С).

Выясним теперь, как можно наглядно представить декартово произведение множеств.

Если множества А и В конечны и содержат небольшое число элементов, то можно изобразить декартово произведение этих множеств при помощи таблицы или графически.

ПРИМЕР. Декартово произведение множеств А = {1; 2; 3} и В = {3; 5} можно представить так, как показано на рисунке 1.3 и 1.4