Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований

Элементарными преобразованиями матрицы являются:

1. транспонирование,

2. умножение всех элементов строки (или столбца) на число ,

3. перестановка строк (или столбцов),

4. прибавление к элементам строки (или столбца) соответствующих элементов другой строки (или другого столбца), умноженных на число ,

5. вычеркивание строк (столбцов), состоящих из нулей.

Теорема 1. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

(без доказательства)

Определение 4. Матрицы А и В называются эквивалентными, если их ранги равны А ~ В .

Элементарные преобразования можно проводить по схеме Гаусса:

1. сделать ,

2. обнулить первый столбец, кроме , вычитая из всех нижележащих строк первую, умноженную на первый элемент соответствующей строки ,

3. сделать ,

4. обнулить второй столбец, кроме  и , вычитая из всех нижележащих строк вторую, умноженную на первый элемент соответствующей строки ,

5. и т.д.

Таким образом можно любую матрицу привести к треугольному виду, а отсюда следует, что ранг матрицы равен числу ненулевых элементов, стоящих на главной диагонали.

Пример.

.

, т.к. минор второго порядка .

Обратная матрица.

Определение 5. Квадратная матрица п – го порядка называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю.

Пример.

 матрица А – невырожденная.

  Определение 6.  Квадратная матрица  называется обратной к матрице А, если выполняется условие .

Пример.

, т.к.  и .

Свойства обращения матриц.

1°. ;

2°. ;

3°. ;

4°. .

Вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы.

Определение 7. Матрица , составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы А, называется присоединенной к матрице А.

Если  то .

 

Теорема 2. Если матрица А невырожденная, то существует, причем, единственная, матрица , равная

.

Доказательство:

Проверим, что :

(по теоремам 1,2 лекции 2)

что и требовалось доказать.

Пример.

 обратная матрица существует.

 

Проверка:

.