Перетворимо три перші рівняння системи (5.2). Підсумуємо ліві і праві частини всіх трьох рівнянь
Еεх = σx - μσy - μσz
Еεy = σy - μσz + σx
Еεz = σz - μσx - μσy
Е(εх + εy + εz) = (σx + σy + σz) - 2μ(σx + σy + σz).
Так як εх + εхy + εz = 3εср, а σx + σy + σz = 3σср, то 3Еεср = 3σср(1 - 2μ),
Звідки
εср = σср(1 - 2μ)/Е (5.3), σср = Еεср/(1 - 2μ). (79)
εх εхy εz = 3εср, а σx σy σz = 3σср, то 3Еεср = 3σср (1 - 2μ),
εср = σср (1 - 2μ) / Е (5.3), σср = Еεср / (1 - 2μ). (79)
З рівняння (79) випливає, що середня напруга пропорційно середньої деформації. Цей вираз можна записати, використовуючи кульові тензори напруг і деформацій
Тσо = ЕТεо /(1 - 2μ), (80)
тобто кульовий тензор напружень пропорційний кульовому тензору деформацій. Сума трьох відносних деформацій, пропорційна середньій деформації, являє собою об'ємну деформацію. Тому вираз (80) називають законом пружньої зміни об’єму.
|
|
При пластичній деформації об’єм не змінюється і εср = 0. Так як
Е ≠ 0, то (1 - 2μ) = 0, а μ = 0,5.
Перетворимо систему (78), виразивши компоненти напружень через компоненти деформацій. Додаючи до першого рівняння системи (78) μσх і віднімаючи μσх, отримуємо
σx = εxE + μσy + μσz + μσx - μσx = εxE + 3μσcp - μσx;
σx + μσx = εxE + 3μσcp; (1 + μ)σx = εxE + 3μσcp.
Підставляючи σcp з (79), отримуємо
σx = [1/(1 + μ)][ εxE + 3μEεcp/(1 - 2μ)] = [E/(1 + μ)][ εx + 3μεcp/(1 - 2μ)].
З (76) виявляється, що E/(1 μ) = 2G, звідки
σx = 2G[εx + 3μεcp/(1 - 2μ)]. (а)
Позначаючи λ=2μG/(1-2μ) і θ=3εср, отримуємо вираз для σх і за аналогією для двох інших компонент тензора напружень; вирази для дотичних напружень отримуємо безпосередньо з (77)
σx = 2Gεx +λθ τxy =Gγxy
σy = 2Gεy +λθ τyz =Gγyz . (81)
σz = 2Gεz +λθ τzx =Gγzx
Віднімаючи попарно одне з іншого перші три рівняння (81), одержуємо після перетворень
σx - σy = 2G(εx - εy), σy – σz = 2G(εy– εz), σz – σx = 2G(ε z – εx), (82)
і далі перетворимо до умов (83) і (84)
(σx - σy)/(σy – σz) = (ε x - εy)/(ε y – εz)
(σy – σz)/(σz – σx) = (ε y – εz)/(ε z – εx) . (83)
(σz – σx)/(σx – σy) = (ε z – εx)/(ε x – εy)
|
|
(σx - σy)/(ε x - εy) = (σy – σz)/(ε y – εz) = (σz – σx)/(ε z – εx) = 2G. (84)
Пропорції (83) і (84) представляють собою геометричне подобу кіл Мора для напружень в координатах σ, τ і деформацій у координатах ε, γ/2.
Для головного куба вираження (84) мають вигляд
σ1 – σ2 = 2G(ε1 – ε2); σ2 – σ3 = 2G(ε2 – ε3); σ3 – σ1 = 2G(ε3 – ε1) (84, а)
Враховуючи, що
σ1 – σ2 = 2τ12, σ2 – σ3 = 2τ23, σ3 – σ1 = 2τ31, а ε1 – ε2 = γ12,
ε1 –ε2 = γ12, ε2 – ε3 = γ23, ε3 – ε1 = γ31, маємо:
τ12=Gγ12, τ23=Gγ23, τ31=Gγ31. (85)
Ці співвідношення можна отримати і безпосередньо з узагальненого закону Гука. Для октаедричної площадкаи
τокт = G γокт. (86)
Висловимо октаедричне дотичне напруження і октаедричні зрушення в головних осях, а G висловимо через дві інші фізичні постійні
τокт = (1/3)[(σ1 – σ2)2 + (σ2 – σ3)2 + (σ3 – σ1)2],
γjrn = (2/3)[(ε1 –ε2)2 + (ε2 –ε3)2 + (ε3 –ε1)2],
G = Е/2(1 + μ).
Підставляючи ці значення в (86), отримуємо: (1/3)[(σ1 – σ2)2 + (σ2 – σ3)2 + (σ3 – σ1)2]0,5 = [Е/2(1 + μ)](2/3)[(ε1 –ε2)2 + (ε2 –ε3)2 + (ε3 –ε1)2 ]0,5.
Помножуючи на 1/ , маємо
1/ [(σ1 – σ2)2 + (σ2 – σ3)2 + (σ3 – σ1)2]0,5 =
= [Е/( (1 + μ)](2/3)[(ε1 –ε2)2 + (ε2 –ε3)2 + (ε3 –ε1)2]0,5. (87)
Ліва частина рівняння (87) являє собою узагальнену напругу (інтенсивність напружень) σi [cм. (45)], а права - інтенсивність деформацій εi, помножену на Е. Отже
σи = Еεи. (88)
Вираз (88) дозволяє представити узагальнений закон пружності у вигляді, аналогічному лінійному напруженого стану σ=Еε, використовуючи скалярні величини σі і εі.
Якщо в процесі навантаження величини σi і εi для кожного наступного моменту часу перевищують їх значення для кожного попереднього моменту часу, деформація називається активною, інакше деформацію вважають пасивною.
Розглянемо далі співвідношення між девіатором напруг і деформацій. Віднімемо з лівої і правої частини рівняння (а) σср=Еεср/(1-2μ) (79), а в правій частині модуль пружності першого роду замінимо його виразом за формулою (76).Отримаємо
σх - σср = 2G[(εx + μ3σср/(1 - 2μ)] - 2G(1 + μ) εср /(1 - 2μ) =
= 2G[εx + (3μ – 1 – μ)εср/(1 - 2μ)] = 2G(εx - εср).
Аналогічні формули можна отримати і для інших компонент нормальних напружень. Для дотичних напружень знайдемо співвідношення, перетворюючи формули (81). У результаті маємо систему рівнянь
σх - σср = 2G(εx - εср), τxy = 2G (1/2)γxy,
σy - σср = 2G(εy - εср), τyz = 2G (1/2)γyz,. (89)
σz - σср = 2G(εz - εср), τzx = 2G (1/2)γzx,
Рівняння системи (89) складаються з компонент девіаторів напруг і деформацій, тому їх можна записати у вигляді
Dσ = 2GDε. (90)
Отже, девіатор напружень прямо пропорційний девіатору деформацій. Вираз (90) називають законом зміни форми.
Всі отримані в цьому параграфі вираження справедливі для пружної деформації при прямій пропорційності напруг і деформацій. Їх можна застосувати і для малих пластичних деформацій, але замість постійних значень Е і G потрібно використовувати модуль пластичності першого роду Е' і модуль пластичності другого роду G', які мають змінні значення.
Оскільки, як показано в 3.5.2, при пластичній деформації (точніше, при постійному об'ємі до і після деформації) коефіцієнт поперечної деформації μ=0,5, маємо з (5.1) G'=E'/2(1 0,5)E'/3, звідки Е'=3G'. Поширення залежностей, отриманих для пружних завдань, на пластичні засновано на уявленні
|
|
РРис.26. Початкові ділянки кривої деформація-напруга з лінійною залежністю і площадкою плинності (ліворуч) і зі значною нелінійністю (праворуч)
пластично деформованого тіла як нелінійно-пружного тіла, для якого модуль пружності змінюється в процесі деформації і, отже, є функцією деформації, тобто Е' = φ(ε).
Для лінійно пружного тіла величини Е і G дорівнюють тангенсу кута нахилу початкової ділянки кривої деформація - напруга (рис.26, ліворуч), тоді як для нелінійно пружного і пластичного тіла Е'-січний модуль, чисельно дорівнює куту нахилу прямої, проведеної з початку координат у розглянуту точку кривої розтягування (рис.26, праворуч).
Криву розтягування можна побудувати або для лінійного напруженого стану, або, як випливає з (88), замінити координати σ і ε на координати σі і εі. Зауважимо, що для лінійного напруженого стану σи = σ1 (σ3), εи =ε1 (ε3).
Лекція 8
Умови пластичної течії. Гіпотези переходу тіла в пластичний стан. Енергетичний зміст рівняння пластичності. Частині вираження рівняння. Вплив середнього за величиною головної напруги. Спрощений вигляд рівняння пластичності.