Зв'язок напружень та деформацій. Узагальнений закон пружності

Розглянемо тіло, що знаходиться в пружному об'ємному стані. З урахуванням розглянутих у розділі 3.1 припущень можна використовувати принцип незалежності дії кожної сили на деформацію (принцип суперпозиції) і використовувати умови зв'язку між напруженнями і деформаціями, встановленими законом Гука для лінійного напруженого стану. Будемо розглядати деформацію по кожній осі такою, якою б вона була при відсутності сил, що діють по інших осях.

Нехай елементарний об'єм знаходиться в стані всебічного розтягування і отримує відповідні деформації. Уздовж осі х діє напруга σх і згідно закону Гука деформація вздовж цієї осі становить εх'=σх/Е. Деформації подовження по осі х повинні відповідати двом деформаціям укорочення по осях у, які складають εу'=εz'=-μσх/Е. Тут Е- модуль пружності першого роду, μ-коефіцієнт Пуассона, що показує, яку частину деформації подовження складають деформації укорочення (коефіцієнт поперечної деформації).

Розглядаючи дію напруги σу, аналогічно отримуємо εу''=σу/Е,
εz''=εх''=-μσу/Е. Від дії напруги σz маємо εz'''=σz/Е, εх'''=εу'''=-Μσz/Е.

Кожне з нормальних розтягуючих напружень створює по три деформації - одну подовження в напрямку своєї дії і по дві деформації укорочення в поперечному напрямку. Підсумуємо деформації, що виникають під дією розглянутих напруг, уздовж кожної осі, і отримаємо значення повних лінійних деформацій по осях:

εх = εх 'εх''εx''' = σх / Е - μσу / Е - μσz / Е = (1 / Е) [σx - μ (σy σz)]

εy = εy 'εy''εy''' =-μσх / Е σу / Е - μσz / Е = (1 / Е) [σy - μ (σz σx)]

εz = εz 'εz''εz''' = - σх / Е - μσу / Е σz / Е = (1 / Е) [σz - μ (σx σy)]

Залежність між зсувних деформацій та дотичними напруженнями має більш простий характер, так як попарно рівні дотичні напруження викликають перекошування граней, паралельних одній площині, і не спотворюють інших граней (див. Рис.14). Відповідно до закону Гука про зв'язок дотичних напруг і зсувних деформацій, під дією напруги τxy і τyx отримаємо γ'ху=τxy/G, γ'yz=γ'zy=0. Від напруг τyz і τzy отримаємо γ''yz=τxy/G, γ''zx=γ''xz=0, від напруг τzx і τxz отримаємо γ'''zx=τzx/G, γ'''xy=γ'''yx=0, де G - модуль пружності другого роду,

G = Е / 2 (1 μ).                                                        (76)

Таким чином, зв'язок між компонентами тензора напружень і тензора деформацій являє собою статично невизначених систем з 6 рівнянь, що містять 12 невідомих компонент цих тензорів:

     ε_х = (1/Е)[σ_x  - μ(σ_y + σ_z)]         γ_ху = τ_xy/G

      ε_y = (1/Е)[σ_y  - μ(σ_z + σ_x)]         γ_ху = τ_xy/G.                           (77)

 ε_z = (1/Е)[σ_z  - μ(σ_x + σ_y)]         γ_ху = τ_xy/G

Система (76) носить назву узагальненого закону пружності, так як дозволяє поширити лінійний закон Гука на об'ємний напружений стан. Рівняння системи (76) називають також фізичними. Вони показують, що компоненти пружної деформації в точці знаходяться в лінійній залежності від компонентів тензора напружень у той же точці.

У головних осях узагальнений закон пружності має вигляд

     ε₁ = (1/Е)[σ₁  - μ(σ₂ + σ₃)]             

      ε₂ = (1/Е)[σ₂  - μ(σ₃ + σ₁)].                                                         (78)

 ε₃ = (1/Е)[σ₃  - μ(σ₁ + σ₂)]             

Для пластичної деформації μ = 0,5. При відсутності деформації по другій осі ε, тобто при ε₂=0, отримуємо σ₂-μ(σ₃+σ₁) = 0, або σ₂=(σ₃+σ₁)/2 =σ_ср, як це було отримано раніше (см. 3.4.4).