Визначення поля напружень у товстостінній трубі за допомогою методу ліній ковзання

Розглянемо осесиметричну задачу навантаження товстостінної труби внутрішнім навантаженням (ту ж, яка розглянута в 3.7.3). Як і раніше, приймаємо, що задача є одночасно осесиметричної і плоско- деформованою завдяки великій довжині труби. Рішення ведемо в циліндричній системі координат, яка є головною завдяки прийнятим умовам деформації (вісь θ - головна для осесиметричної задачі, вісь z - головна для плоскої деформованої, вісь ρ виявляється головною, так як ортогональна осях θ і ρ). Тому радіуси і концентричні кола утворюють сітку головних напруг (рис.38). Лінії ковзання повинні перетинати цю сітку під кутом π/4.

Рис.38. Труба під внутрішнім тиском (рішення методом ліній ковзання)

Лінія, що перетинає радіус-вектор під будь-яким постійним кутом φ є логарифмічна спіраль. Рівняння логарифмічної спіралі в циліндричних координатах має вигляд

                            ρ = re^θctgφ.                                                          (129)

    Так як кут, під яким спіраль перетинає радіус, рівний φ=π/4, то ctgφ=1 і рівняння (129) отримає вигляд

                                     ρ = re^θ.                                                             (130)

    Відкладаючи від будь-якої точки М пари значень ρ і θ за годинниковою стрілкою, отримаємо лінії ковзання сімейства α, проти годинникової стрілки - сімейства β (Рис.38) Оскільки лінії ковзання нахилені до радіусу під постійним кутом, то поворот радіуса на кут θ_MN при переході від точки M до точки N вимагає, щоб лінія ковзання відхилилася на той самий кут, тобто кут θ_MN є кут повороту лінії ковзання ω_MN. З рівняння (130) маємо ω_MN =ln(ρ/r). З рівняння (127)

                  σ_срM - σ_срN = ± 2k ln(ρ/r).                                             (131)

    Звернемося до рівняння пластичності в точці N. Напруга σ_z = σ₂, так як діє по осі, вздовж якої відсутня деформація. Напруга σ_ρ - стискуюча, і найбільшу за абсолютною величиною (воно здійснює процес роздачі), тобто σ_ρ = σ₃. Відповідно σ_θ = σ₁. Таким чином, для точки N рівняння пластичності має вигляд

                                     σ_θN - σ_ρN = 2k.                                                  (132)

    Точка N лежить на вільній поверхні, для якої σ_ρ = 0, отже, з (123) маємо σ_θM = 2k.Середнє напруження в точці N

                               σ_срN = (σ_θN + σ_ρN)/2 = (2k + 0)/2 = k.

З рівняння (131) маємо

                            σ_срM - k = - 2k ln(ρ/r).                                       (133)

     При переході від точки М до точки N стискаючі напруги зменшуються, тому в правій частині рівняння (133) взято знак мінус. Далі

    σ_срM = k - 2k ln(ρ/r); σ_срM  = (σ_θМ + σ_ρМ)/2 = 2k - 4k ln(ρ/r).

    Рівняння пластичності в точці М σ_θМ - σ_ρМ = 2k, віднімаючи яке з попереднього рівняння, маємо 2σ_ρМ = 2k - 4k ln(ρ/r) - 2k = - 4k ln(ρ/r).

    Скорочуючи на 2 та враховуючи, що максимальне значення

                                 σ_ρМ  отримаємо при ρ = r (рис.38), маємо

σ_ρМ = - 2k ln(R/r).                                             (134)

Аналогічний результат був отриманий у розділі 3.7.3 при вирішенні задачі за допомогою диференціальних рівнянь рівноваги. Напруження σ_ρ розподіляються по товщині стінки труби за логарифмічною кривою. Розподіл напружень σ_θ знайдемо, використовуючи рівняння пластичності: σ_θ=σ_ρ-2k. Напруга σ_z знайдемо як полусумму цих напруг. Таким чином, напружений стан визначено для будь-якої точки деформованої труби.

Отримане рішення демонструє ідентичність результатів при вирішенні однієї і тієї ж задачі різними методами. Воно отримано в умовах, коли вся зона деформації охоплена сіткою, що складається з поля лише одного виду. Такі рішення реалізуються відносно рідко. Значно частіше для побудови сітки доводиться використовувати кілька видів типових полів.

Лекція 15

Визначення поля напружень при впровадженні пуансона в півпростір методом ліній ковзання. Зв'язок полів ліній ковзання з полями швидкостей. Розриви швидкостей і напруг.