Розриви швидкостей і напруг

Відомі випадки, коли побудувати безперервне поле напруг або швидкостей не можна. Наприклад, при пружному вигині бруса напруги по його перетину змінюються від максимальних розтягуючих значень на опуклій поверхні до нуля в середніх волокнах (в нейтральному перетині) і знову зростають вже у вигляді стискаючих напруг до їх максимального значення на внутрішній увігнутій поверхні (Рис.42). Зміна напружень відбувається по прямій лінії. У міру збільшення згинального моменту напруги будуть зростати до значень σ_т. У випадку, коли весь переріз бруса перейде в пластичний стан, розподіл напруг буде змінюватися стрибком: від σ_т до - σ_т на нейтральній поверхні.

Рис.42. Схема дії напружень при пружній і пластичній деформації бруса

У тих випадках, коли не вдається побудувати поля швидкостей і напруг безперервно змінючихся за об’ємом пластичної зони, вдаються до так званих розривних рішень. Припускають, що між зонами пружної і пластичної деформації існує тонкий перехідний прошарок («мембрана»), на якій одні компоненти змінюються стрибком (терплять розрив), а інші залишаються безперервними.

В одній і тій же точці поля ліній ковзання не можуть виникнути одночасно і розриви швидкостей і розриви напруг. Розрив швидкостей може відбуватися тільки уздовж ліній ковзання або їх огинаючої. Нормальні компоненти швидкості по обидва боки повинні бути однаковими, інакше відбудеться розрив суцільності.Дотичні компоненти можуть змінюватися на величину розривності Δ (du / dt) (Рис.43), нормальні компоненти безперервні.

Рис.43. Розрив напружень (а) і положення

лінії розриву L при розриві швидкостей (б)

Нехай лінія ковзання α є лінією розриву. Повна швидкість зсуву du/dt в точці р при переході через цю лінію ковзання du'/dt змінюється і по величині і по напрямку (рис.44). Однак компонента, спрямована нормально до лінії ковзання du'β/dt, не змінюється, тому що це викликало б розрив суцільності. Змінюється за величиною тільки компонента, спрямована вздовж лінії ковзання du'α/dt. Завдяки цьому повна швидкість ковзання отримує значення du'/dt і виникає розрив швидкості Δ(du/dt).

Рис. 3.44. Розрив швидкостей

З рівнянь (135), записаних у розгорнутому вигляді, слідує:

d(du_α/dt) = (du_β/dt)dα и d(du′_α∆/dt) = (du′_β/dt)dα. Так как (du_β/dt) = (du'_β/dt), то вздовж лінії ковзання сімейства α d(du_α/dt) = d(du'_α/dt), а значить

du_α/dt = du'_α/dt = = пост. Аналогічно для лінії сімейства β отримаємо du_β/dt = du'_β/dt = пост. Отже, розрив швидкості вздовж лінії ковзання залишається постійним (або рівним нулю, якщо розрив відсутній).

Лінія розриву напружень L (Рис.43) є бісектрисою кута, утвореного однойменними лініями ковзання одного сімейства - α і α ', β і β'. Кривизна ліній ковзання і кут α змінюються стрибком (Рис.43). На лінії розриву L відчувають розрив нормальні напруги σ_t, спрямовані тангенціально, тобто вздовж цієї лінії (Ріс.43, а).Нормальні напруження σ_n, перпендикулярні до лінії розриву, і дотичні напруження τ змінюються безперервно.