Зв'язок полів ліній ковзання з полями швидкостей

З усіх можливих рішень найбільш близьким до дійсного рішенням буде те, яке, поряд з виконанням умов рівноваги, задовольняє і кінематичним умовам, тобто відповідає дійсному полю швидкостей течії в пластичної зоні. Побудована сітка ліній ковзання, що задовольняє умовам рівноваги, рівнянням зв'язку напруг і деформацій і заданим граничним умовам в напруженнях, не завжди відповідає кінематиці процесу (характером перебігу точок у зоні деформації). У цьому разі отримують занижені значення тисків («нижня оцінка»). Розглянемо співвідношення між швидкостями зміщень і сіткою ліній ковзання.

Нехай повна швидкість зміщень (похідні зміщень за часом позначимо символом усунення з точкою угорі) задана компонентами x і z в прямокутній системі координат xoz. Висловимо ту ж повну швидкість зміщень через її компоненти α і β, спрямовані вздовж пари пересічних ліній ковзання сімейств α і β (Рис.41). Лінії ковзання двох сімейств можна розглядати як нову криволінійну систему координат. З аналітичної геометрії для переходу від однієї системи координат (у даному випадку від прямокутної x0z до криволінійної α0β) використовуються формули

_α = u_x cosα + _zsinα;    (а)

_β = - u_x sinα + _z cosα. (б)

Рис3.41. Схема до висновку рівнянь Гейрінгер

    Диференціюючи ці рівняння за елементами дуг ліній ковзання сімейств α і β, перше за s_α, а друге за s_β

∂ _α/∂s_α = (∂ _х/∂s_α)cosα - _xsinα (∂α/∂s_α) + (∂ _z/∂s_α)sinα + _z cosα (∂α/∂s_α) =

    = ( _z cosα - _xsinα) ∂α/∂s_α + (∂ _x/∂s_α)cosα + (∂ _z/∂s_α)sinα.

    Но відповідно до рівняння (б) _z cosα - _xsinα = _β.

Отримуємо

    _β(∂α/∂s_α) + (∂ _x/∂s_α)cosα + (∂ _z/∂s_α)sinα.                                (в)

    З геометричних параметрів маємо ∂x = ∂S_α/cosα, ∂z = ∂S_α/sinα. Використовуючи ці співвідношення для перетворення двох останніх доданків рівняння (у), отримуємо:

    ∂ _α/∂s_α = ∂ _x/∂х + ∂ _z/∂z + _β(∂α/∂s_α).                                     (г)

    Аналогічно з рівняння (б) отримаємо   

    ∂ _β/∂s_β = - ∂ _x/∂х - ∂ _z/∂z + _α(∂α/∂s_β).                                     (д)

    Для плоскої деформації сума двох компонент деформації, а отже, і сума двох компонент швидкості деформації дорівнюють нулю відповідно до закону сталості об’єму. Тому з рівнянь (г) і (д) маємо

    ∂ _α/∂s_α = _β(∂α/∂s_α), ∂ _α/∂s_α = - _β(∂α/∂s_α).

З цих рівнянь після інтегрування одержимо

∂ _α  - _β∂α = 0. (135,а)    ∂ _β - _α∂α = 0.                 (135,б)

    Рівняння (135) являють собою також рівняння нерозривності.

Ці рівняння називають ім'ям автора Г. Гейрінгер. Рівняння ((135, а) характеризує зміну швидкості лінійних швидкостей уздовж ліній ковзання сімейства α, а рівняння ((135, б) - уздовж ліній сімейства β.

    Відповідно до (135) зміни швидкості лінійних деформацій вздовж лінії ковзання дорівнюють нулю. Компоненти швидкостей для найпростіших полів постійні. За допомогою рівнянь (135) можна побудувати план швидкостей за відомою сіткою ліній ковзання (годограф швидкостей).

Годографом швидкостей називають діаграму векторів швидкостей переміщення точок, що виходять з довільно взятої точки (полюси). Кожній точці в полі ліній ковзання відповідає точка, що відображає її на годографі. Лінії на годографі представляють собою швидкості вздовж відображуваних ліній ковзання. Графічна побудова годографа швидкостей заснована на властивості ортогональності відрізків ліній ковзання їх відображенням на годографі (відрізки ліній ковзання та вектори швидкостей зміщень взаємно перпендикулярні). Якщо поля ліній ковзання і швидкостей спільні, то сітка ліній ковзання відображає дійсну рівновагу тіла. Спільність можна перевірити, наприклад, зіставляючи кількість металу, що витісняється в протилежних напрямках, у відповідності з отриманим полем швидкостей. Для дійсного рішення ці кількості повинні бути рівні. Приклад побудови годографа швидкостей буде розглянуто нижче.