2020-04-20
211
Тема 2.1. Вектора.
1. Классификация векторов
| Вектора |
| Неколлинеарные |
| Коллинеарные (2 вектора) Лежат на параллельных прямых или на одной прямой |
| Сонаправленные Направлены в одну сторону |
| Противонаправленные Направленны в разные стороны |
| Равные Равные по длине Равные по длине |
| Противоположенные Равные по длине |
| Компланарные (3 вектора) Лежат на параллельных плоскостях или в одной плоскости |
| Некомпланарные Не лежат в одной плоскости |
2. Сложение трех некомпланарных векторов (правило параллелепипеда)
Чтобы сложить три вектора 
и 
, надо построить параллелепипед так, что бы отрезки 
были его ребрами.
|
|
|
Суммой этих векторов является диагональ этого параллелепипеда.
Если надо вычесть вектор, то надо прибавить противоположенный ему вектор.
4. Выразить вектор через три некомпланарных вектора
K
B C
A D
= 
5. Упрощение выражений с векторами.
правило сложения векторов
(заменяем вектор 
на противоположенный 
(меняем местами вектора)
правило вычитания векторов
(заменяем вектор 
на противоположенный 
(группируем вектора)
(группируем вектора)
Тренажер 2.1.1. Вектора в пространстве.
1. Задать три произвольных вектора 
. Построить результирующий вектор 
|
|
|
а) для неколлениарных векторов на плоскости
б) для коллиниарных векторов на плоскости
в) для некомпланарных векторов в пространстве
2. Упростить выражение с векторами.
а). 
б) 
в) 
3. В параллелепипеде 
точка 
. Разложить
а) вектор 
через вектора 
б) вектор 
через вектора 
в) вектор 
через вектора 
4. В параллелепипеде найти результирующий вектор,применяя параллельный перенос вектора на равный ему вектор.
а) 
б) 
с) 
Тема 2.2. Метод координат
1. Нахождение координаты вектора В
и В 
А
2. Нахождение координаты середины отрезка
А B
3. Нахождение длины отрезка АВ М
4. Сложение векторов
Вычитание векторов 
5. Умножение вектора на числ о
6. Длина вектора или модуль вектора
7. Разложение вектора по единичным векторам 
y
x
8. Скалярное произведение векторов
Определение 
В координатах 
9. Нахождение косинуса угла между векторами 
10. Свойства скалярного произведения
1). если 
и 
2). если 
угол между векторами острый
3). если 
угол между векторами тупой
11. Если вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю
если вектора параллельны, то их координаты пропорциональны
если 
если 
12. Уравнение окружности 
где
13. Уравнение сферы 
14. Уравнение прямой, проходящей через две точки А 
и В 
находим угловой коэффициент 
решаем уравнение 
15. Если две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны 
если две прямые перпендикулярны, то 
16. Что бы найти точку пересечения двух прямых 
и 
, надо
приравнять их правые части 
и найти абсциссу (
) точки
пересечения. Подставив полученное в любое из данных уравнений, найдем
|
|
|
ординату (
).
17. Что бы найти координаты точки пересечения прямой с осью абсцисс
(Ох), надо найти 
Что бы найти координаты точки пересечения прямой с осью ординат
(Оу), надо подставить в уравнение прямой 
и найти 
18. Что бы найти точку пересечения окружности и
прямой , надо решить подстановкой систему двух уравнений
и найти 
.
Это и будут координаты точки пересечения прямой и окружности.
19. Если точка А лежит на оси ОХ, то ее координаты (х, 0, 0)
если точка В лежит на оси ОУ, то ее координаты (0, у, 0)
если точка С лежит на оси ОZ, то ее координаты (0, 0, z)
Тренажер 2.2.1. Метод координат
1.Вектора 
перпендикулярны. Длина вектора 
равна 2, а длины векторов 
и 
равны 1. Угол между векторами и равен 30 
Найти величину скалярного произведения 
+ 
2. В прямоугольном параллелепипеде 
и диагональ 
наклонена к основанию под углом 60 
. Найти скалярные произведения:
3. Дан куб с ребром равным 2. Найти угол между прямыми 
, расстояние между серединами 
4. При каких 
длина вектора 
равна 11?
5. Даны два вектора 
. При каких ветора перпендикулярны и при каких угол между векторами острый?
6. Даны два вектора 
. При каких ветора коллинеарны?
7. Найти координаты точки М, лежащей на оси ОУ, если расстояние от нее до точки
равно расстоянию от нее до точки 
8. Даны три точки 
). Найти координаты точки 
лежащий на оси ОZ, так, что бы 
9. Доказать, что четырехугольник АВСD является ромбом, если 
) и 
. Найти площадь ромба и радиус, вписанной в ромб окружности.
10. Даны точки 
), которые являются тремя вершинами параллелограмма. Найти координаты четвертой вершины параллелограмма, его площадь и угол А.
11. Дан треугольник 
, при чем 
Найти угол между медианой 
и основанием треугольника 
и площадь треугольника .
12. Дан треугольник , при чем 
Найти расстояние от начала координат и до центра окружности, описанной около треугольника и площадь треугольника.
|
|
|
13. Найти расстояние от центра окружности 
до точки пересечения прямых 
.
14. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых
и центр окружности 
.
15. Прямая 
пересекает окружность 
в точка А и В. Найти расстояние от середины отрезка АВ до центра окружнлости.
16. Дан треугольник , при чем 
Определить вид треугольника АВС и составить уравнение прямой, содержащией высоту, опущенную на основание треугольника.
Тема 2.3. Применение метода координат при решении задач по стереометрии.
