Тема 1.5. Расстояние между фигурами

1. Расстояние между прямым и –

а) длина их общего перпендикуляра.

прямым .

– расстояние между прямыми

б). длина перпендикуляра, опущенного из точки, лежащей на одной прямой до плоскости, которая параллельна этой прямой, и в которой лежит вторая прямая (т.е. находим расстояние от точки до плоскости методом объемов)

Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

если , то -расстояние от точки А

А до прямой

Метод площадей: составить площадь треугольника двумя разными способами.

Что бы найти расстояние от точки до прямой надо на прямой выбрать две точки и получить треугольник, в котором искомый перпендикуляр будет высотой. Найти площадь этого треугольника любым возможным способом и из формулы найти искомое

Треугольник может быть равносторонний

прямоугольный

равнобедренный

разносторонний ,

Пример. В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найти расстояние от точки А до прямой

Рассмотрим

1 H Проведем высоту

( =

A B ( =

1 C

Ответ:

2. Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенный из точки на плоскость.

если , то -расстояние от точки А

до плоскости

Метод объемов: составить объем пирамиды двумя разными способами.

Что бы найти расстояние от точки до плоскости, надо на плоскости выбрать три точки и получить пирамиду, в котором искомый перпендикуляр будет высотой. Найти объем этой пирамиды любым возможным способом и из формулы найти искомое

Пример. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны по 1. Н айти расстояние от вершины D до плоскости SA

Ответ:

Тренажер 1.5.1. Расстояние между фигурами.

1. В кубе .найти расстояние от точки В до прямой D

2. В правильной треугольной призме ABC все ребра равны 1. Найти расстояние от точки В до прямой А .

3. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Найти расстояние от точки В до прямой .

4. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найти расстояние от точки В до прямой .

5. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найти расстояние от точки В до прямой .

6. В кубе найти расстояние от точки до плоскости

7. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Найти расстояние от точки А до плоскости SDE.

8. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Найти расстояние между прямыми SB и AF.

9. В правильной четырехугольной пирамиде все стороны равны 1. Найти расстояние между прямыми

10. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найти расстояние между прямыми

Тема 1.6. Практическая стереометрия

1). Площади поверхности и объемы подобных тел.

конусы подобны

2). Зависимость площади поверхности и объема от стороны или радиуса

В сфере:

если радиус сферы увеличивается в К раз, то площадь поверхности сферы увеличивается в К² раза, а объем (вес) увеличивается в К³ раз.

В правильном тетраэдре и кубе:

если сторона увеличивается в К раз, то площадь боковой и полной поверхности увеличивается в К² раза, объем (вес) увеличивается в К³раз

3). Воду переливают из одного цилиндрического сосуда в другой.

Если при постоянном объеме жидкости радиус основания цилиндра увеличивается в К раз, то площадь основания цилиндра увеличивается в К² раза, при этом высота должна уменьшится тоже в раза

4). Зависимость площади поверхности конуса и цилиндра от радиуса основания и высоты

Площадь боковой поверхности от всех элементов зависит линейно, а объем от высоты зависит линейно, а от радиуса квадратично

В цилиндре и конусе при увеличении (или уменьшении) радиуса основания, или высоты, или образующей в раз площадь боковой поверхности увеличивается (или уменьшается)в раз.

При увеличении (или уменьшении) высоты в К раз объем увеличивается (или уменьшается) в К раз, а при увеличении (или уменьшении) радиуса основания в К раз объем увеличивается (или уменьшается) в раз.

Пример. Объем цилиндре равен 12, а площадь боковой поверхности равна 9 Радиус основания увеличили в 2 раза, а высоту уменьшили в 3 раза. Найти объем и площадь боковой поверхности получившегося цилиндра.