Основные понятия топологии электрических цепей

СОДЕРЖАНИЕ

 

Основные понятия топологии электрических цепей

Теорема замещения

Теорема Теллегена. Баланс мощности

Принцип дуальности

Заключение

Литература

Основные понятия топологии электрических цепей

 

При анализе конкретной электрической цепи, она представляется в виде совокупности соединенных между собой активных и пассивных элементов. Место соединения зажимов двух и более элементов называется узлом электрической цепи. В отдельных случаях целесообразно различать узлы простые и сложные.

Простым узлом называют место соединения зажимов двух элементов (рис. 1. 1, а), а сложным – место соединения зажимов трех и более элементов (рис. 1. 1, б).

 

а) простые узлы;

б) узел сложный.

Рис. 1. 1.

 

Обобщением понятия элемента как соединительного пути между двумя узлами цепи является понятие ветви цепи.

Ветвь – это часть цепи, которая включена между двумя узлами и взаимодействует (обменивается энергией) с остальной цепью только через эти два узла. Таким образом, ветвь – это двухполюсная электрическая цепь – двухполюсник. Графическое изображение совокупности узлов цепи и соединительных путей между ними, т. е. ветвей цепи, называется графом цепи. В качестве примера на рис. 1.2. показаны схема и граф цепи.

Рис. 1.2.

 

Последовательность ветвей, соединяющих два узла, определяет топологическое понятие пути. При этом предполагается, что через промежуточные узлы путь проходит один раз.

Под контуром электрической цепи принято понимать любой замкнутый путь на графе, который начинается и кончается в узле. Иными словами, контуром является связный подграф, в котором к каждому узлу присоединены по две ветви. На рис. 1.2 в качестве примера можно привести контуры: 1-2-4-1, 1-2-3-4-1 и др. Число контуров, которые вообще можно выделить в схеме цепи, отличается от числа так называемых независимых контуров. Независимыми будут, в частности, такие контуры, каждый из которых включает хотя бы один элемент (ветвь), не содержащийся в других контурах.

Дерево графа называют систему наименьшего числа ветвей, связывающих все узлы графа без образования контуров. Следовательно, дерево представляет связный подграф, который содержит все узлы графа и получается путем удаления всех ветвей, образующих контуры. Для заданного графа существует множество деревьев. На рис. 1.3. приведены некоторые из деревьев рассмотренного графа.

 

Рис. 1. 3.

 

Из рисунка видно, что между парой узлов дерева имеется единственный путь. Построение дерева разбивает ветви графа на ветви дерева и ветви, не вошедшие в дерево, называемые ветвями связи или хордами. Число ветвей дерева на единицу меньше числа узлов:

 

.

 

Это следует из того, что первая ветвь соединяет два узла, а каждая последующая ветвь присоединяет один узел.

Число ветвей связи (число независимых контуров) равно числу остальных ветвей, не вошедших в дерево:

 

.

 

Совокупность ветвей связного графа называется сечением, если, во-первых, устранение всех ветвей этой совокупности (узлы графа сохраняются) делает граф несвязным и, во-вторых, после восстановления любой из ветвей этой совокупности вновь образуется связный граф. На графе (схеме) цепи сечение цепи изображается в виде тонкой или штриховой линии, которая проходит через все ветви сечения. Для графа рис. 1.4.,а одно из возможных сечений содержит ветви, включенные между узлами 1-2, 02, 0-3, 3-4.

Рис. 1. 4.

 

После удаления этих ветвей образуется несвязный граф рис. 1.4.,б и, следовательно, выполняется первое из требований определения. Выполняется так же и второе требование, поскольку добавление к графу рис. 1.4.,б любой из ветвей выбранного сечения приводит к связному графу.

Отмеченные выше понятия и положения будут использованы в дальнейшем при расчете электрических цепей по методам, вытекающим из законов Кирхгофа.

 

Теорема замещения

 

В теории электрических цепей как при доказательствах ряда ее положений, так и при численных расчетах используется теорема замещения: значения всех напряжений и токов в электрической цепи сохраняются неизменными, если любую ветвь цепи заменить источником напряжения, у которого задающее напряжение равно напряжению этой ветви до указанной замены.

Для доказательства теоремы обратимся к рис. 1.5. а, на котором выделена ветвь цепи, подлежащая замене источником напряжения.

 

      а)                                     б)                                  в)

Рис. 1.5.

 

Введем последовательно с этой ветвью два источника напряжения с задающими напряжениями и включим их так, как показано на
рис. 1.5.,б. При этом все напряжения и токи сохраняют свои прежние значения, поскольку задающие напряжения источников компенсируют друг друга (разность потенциалов между узлами 1 и 3 цепи равна нулю, что эквивалентно соединению этих узлов накоротко). Но компенсируют друг друга также напряжение на зажимах выделенной ветви и задающее напряжение одного из источников, т. е. напряжение между узлами 0 и 2 цепи. Эти два элемента не влияют, следовательно, на токи и напряжения в цепи, и их можно исключить из цепи, соединив накоротко узлы 0 и 2. Но тогда в цепи вместо выделенной ветви оказывается включенным источник напряжения  (рисунок 1.5.,в), что и доказывает теорему.

Аналогично может быть доказана и двойственная (дуальная) формулировка теоремы замещения: значения всех напряжений и токов в электрической цепи сохраняются неизменными, если любую ветвь цепи заменить источником тока, у которого задающий ток равен току в этой ветви до указанной замены.

Доказательство предполагается выполнить самостоятельно.

В качестве примера применения теоремы на рисунке 1.6 приведены схемы трех цепей.

 

Рис. 1. 6.

 

В схемах в соответствии с теоремой замещения напряжения и токи в одноименных ветвях имеют одинаковые значения. Необходимо обратить внимание на то, что теорема применима как к линейным, так и к нелинейным электрическим цепям. Так как при ее доказательстве на выделенную ветвь не накладывается никаких ограничений, кроме того, что она обменивается энергией с остальной частью цепи только через зажимы 1-0 с помощью тока.