Замкнутые множества. Замыкание

Определение 1. Точка P называется точкой прикосновения множества W, если любая её окрестность пересекается с W. Это равносильно тому, что r(P, W)=0. Множество WÌ(M, t) называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения.

Определение 2. Множество W в топологическом пространстве (M, t) называется замкнутым, если его дополнение M\W открыто в M.

Примем без доказательства, что эти два определения равносильны.

Очевидно, что каждая точка самого множества V является его точкой прикосновения. Но, если V не замкнуто, то существуют ещё точки, которые в V не входят, но являются его точками прикосновения.

Определение. Совокупность всех точек прикосновения множества V называется замыканием множества V. Будем использовать обозначения для замыкания:.

Определение. Совокупность всех внутренних точек множества называется его внутренностью и обозначается. Множество \ называется границей множества V.

Пример 1. Пусть U (O, 1) - открытый круг на плоскости. Тогда его замыканием является B (O, 1)=(O, 1)={Q| r(O, Q)£1} - замкнутый круг, а граница есть окружность S¹={Q| r(O, Q)=1}.

Свойства операции замыкания.

. =U;

2. ÍI;

3. VÌ, =;

4.  = Æ.

Пример 2. Пусть V=(-1, 0), W=(0,1). Тогда V IW = Æ Þ =Æ. С другой стороны, =[-1, 0], =[0,1], Þ I= {0}. Данный пример показывает, что равенство в пункте 2. может не выполняться.

Теорема 2. I. Пересечение любого числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

II. Объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

III. Æ и M - замкнутые множества.

Данные свойства и теорему принимаем без доказательства.