Соприкасающаяся плоскость к кривой. Главная нормаль. Бинормаль

Определение. Пусть g - некоторая кривая, P - точка на ней, Q Î g - близкая к P точка. Пусть p - плоскость, проходящая через P. Обозначим d =½ PQ½, d - расстояние от Q до этой плоскости. Если  = 0, то плоскость p называется соприкасающейся плоскостью к кривой g в точке P.

Смысл этого определения в следующем: соприкасающаяся плоскость - это та плоскость, которая плотнее всего прилегает к кривой. Следующее определение эквивалентно данному.

Определение. Пусть g - некоторая кривая, P - точка на ней. Выберем две близкие к P точки Q и R на кривой. Если при Q-® P и R-® P плоскость

PQR стремится занять определенное положение p, то плоскость p называется соприкасающейся плоскостью к кривой g в точке P.

Теорема 2. Если кривая g дважды дифференцируема и регулярна в точке P, то она имеет в этой точке соприкасающуюся плоскость. Если c (t) - параметризация класса C² кривой g и P = c (t_o), то соприкасающаяся плоскость будет параллельна векторам c ¢(t_o) и c ²(t_o). Если эти векторы не коллинеарны, то соприкасающаяся плоскость единственна, а если c ¢(t_o)½½ c ²(t_o), то любая плоскость, проходящая через касательную к кривой g в точке P, будет соприкасающейся плоскостью к кривой (без доказательства).

Можно определить соприкасающуюся плоскость, как параллельную векторам c ¢(t_o) и c ²(t_o), а потом доказать, что именно она наиболее плотно прилегает к кривой.

Если c ¢(t_o) c ²(t_o), то соприкасающаяся плоскость в точке P = c (t_o) задается уравнением

x - x_o y - y_o z - z_o1¢ c₂¢ c₃¢ = 0^. (7)

c₁² c₂² c₃²

Определение. Прямая перпендикулярная к соприкасающейся плоскости к кривой g в точке P называется бинормалью к кривой g в точке P. Нормаль к кривой g в точке P, лежащая в соприкасающейся плоскости называется главной нормалью. Поскольку c ¢(t_o) и c ²(t_o) параллельны соприкасающейся плоскости, то вектор c ¢(t_o)´ c ²(t_o) будет вектором нормали к ней, а значит, он будет направляющим вектором бинормали. Значит, бинормаль задается уравнением.

 = =.

c₂² c₃² c₃² c₁² c₂² c₃²

Главная нормаль перпендикулярна касательной и бинормали. Поэтому её направляющий вектор перпендикулярен c ¢ и c ¢´ c ². Значит, направляющий вектор главной нормали - это (c ¢´ c ²)´ c ¢. Для того, чтобы

составить уравнение главной нормали надо сначала вычислить этот вектор в данной точке.

Определение. Плоскость перпендикулярная главной нормали к кривой g в точке P называется спрямляющей плоскостью к кривой g в точке P.

Для спрямляющей плоскости вектор (c ¢´ c ²)´ c ¢ будет вектором нормали. Для того, чтобы составить уравнение спрямляющей плоскости надо сначала вычислить вектор (c ¢´ c ²)´ c ¢ в данной точке.

Единичные направляющие векторы касательной, главной нормали и бинормали принято обозначать соответственно t, n, b. Тогда, для того, чтобы они образовывали правую тройку необходимо, чтобы выполнялось n = t ´ b - именно в этом порядке. Тогда

t =, b =, n =. (8)

Говорят, что вместе с точкой P = c (t_o) эти векторы, вычисленные в данной точке, образуют подвижной репер кривой {P, t, n, b } или репер Френе. Именно в этом репере удобнее всего исследовать поведение кривой в окрестности точки P.

Изобразим теперь кривую вместе с репером Френе и всеми прямыми и плоскостями, относящимися к кривой.