Касательная прямая. Нормальная плоскость кривой

 

Определение. Пусть g - некоторая кривая, P - точка на ней. Выберем близкую к ней точку QÎg. Прямую PQ назовем секущей. Если при Q -® P секущая стремится занять определенное положение l, то прямая l называется касательной к кривой g в точке P.

Математически более точным является следующее определение.

Определение. Пусть g - некоторая кривая, P - точка на ней, а l - некоторая прямая, проходящая через P. Выберем близкую к P точку QÎg. Обозначим d =½ PQ½, d - расстояние от Q до l. Если  = 0, то прямая l называется касательной к кривой g в точке P.

Теорема 1. Гладкая класса C¹ (т.е. регулярная) кривая имеет в каждой своей точке касательную и, притом, единственную.

Доказательство. Пусть c (t) - гладкая регулярная параметризация кривой g, P = c (t_o), Q = c (t) - близкая к P точка. Тогда

 

 = c (t) - c (t_o)^, d =½ ½ =½ c (t) - c (t_o)½.

 

Пусть l - некоторая прямая, проходящая через P, t - единичный направляющий вектор этой прямой, а a - угол между t и. Тогда

 

d = d×sin a =½ ½ ×½ t ½ ×sin a =½ ´ t ½,

 

(мы домножили на ½ t ½, т. к. ½ t ½ =1). Отсюда

 

= = =.

 

Перейдем в этом равенстве к пределу при d -® 0 Û t -® t_o:

 

 =.

Значит, равенство нулю этого предела равносильно c ¢(t_o)´ t =  Û Û c ¢(t_o) ½½ t. Таким образом, прямая l будет касательной Û вектор c ¢(t_o) будет её направляющим вектором. Поскольку путь c (t) регулярный, то c ¢(t_o) ¹, а значит, касательная прямая существует и однозначно определяется данным вектором и точкой P = c (t_o).

Пусть кривая g задана уравнением = c (t).Из теоремы вытекает, что касательная к g, проходящая через точку P(x_o, y_o, z_o) = c (t_o), задается уравнением

 

= =. (1⁾

 

Если кривая расположена на плоскости, то в этом уравнении будет отсутствовать второе равенство (координата z).

Кривая на плоскости может быть задана уравнением в неявном виде:

 

F (x, y) = 0. (2)

 

Пусть = c (t) - параметрическое уравнение этой же кривой; в развёрнутом виде:

 

x = x(t),

y = y(t).

 

Тогда при подстановке этих уравнений в (2) мы получаем тождество:

 

F (x(t), y(t)) º 0.

Продифференцируем его по t^:

 

 x¢(t) +   y¢(t) = 0. (*)

 

Обозначим grad F =. Тогда равенство (*) равносильно (grad F) · c ¢(t)º 0.

Это означает, что в каждой точке P= c (t_o) на кривой g вектор градиента grad _PF, вычисленный в этой точке перпендикулярен вектору c ¢(t_o), т.е. является вектором нормали для касательной к кривой в этой точке P. Значит уравнение касательной в точке P имеет вид:

 

 (x - x_o) +   (y - y_o) = 0, (3)

 

где все производные вычисляются в точке P(x_o, y_o).

Если кривая задана уравнением в явном виде y = f (x), то мы можем переписать уравнение так: y - f (x) = 0, и, применяя уравнение (2), получим уравнение касательной

 

y - y_o = f ¢(x_o) (x - x_o). (4)

Определение. Любая прямая, проходящая через точку PÎg, перпендикулярно касательной к кривой g в этой точке называется нормалью кривой. Если регулярная кривая расположена на плоскости, то нормаль у нее в каждой точке одна, а если кривая находится в пространстве-то бесконечно много. Тогда все нормали лежат в одной плоскости перпендикулярной касательной. Эта плоскость называется нормальной плоскостью к кривой g в точке P.

Пусть = c (t) - параметрическое уравнение кривой, P(x_o, y_o, z_o) = = c (t_o). Тогда вектор c ¢(t_o) будет перпендикулярен нормальной плоскости, а значит уравнение этой плоскости имеет вид:

 

c₁¢ (t_o) (x - x_o) + c₂¢ (t_o) (y - y_o) +c₃¢ (t_o) (z - z_o) = 0. (5)

 

Если кривая расположена на плоскости, то уравнение нормали к ней в точке P:

 

c₁¢ (t_o) (x - x_o) + c₂¢ (t_o) (y - y_o) = 0.

 

Если кривая задана уравнением в неявном виде (2), то вектор grad _PF будет направляющим вектором нормали к ней в точке P, а значит уравнение нормали:

 

=. (6)