Вектор-функция скалярного аргумента

 

Определение. Пусть E³ - евклидово векторное пространство, U- некоторое множество на прямой, плоскости или в пространстве. Говорят, что на U задана вектор-функция, если каждой точке AÎU сопоставлен вектор (A) Î E³. Если I Í R - некоторый интервал числовой прямой, то: I -® E³ называется вектор-функцией скалярного аргумента.

Пусть t Î I, а (t) Î E³ - его образ при отображении: I -® E³. В E³ выберем ОНБ { i, j, k }. Тогда вектор (t) мы можем разложить по базису:

 

(t)= x(t) i + y(t) j + z(t) k

 

(в других обозначениях: (t)= r₁(t) i + r₂(t) j + r₃(t) k). Таким образом, задание одной вектор-функции равносильно заданию трех скалярных (обычных) функций x(t), y(t), z(t); x: I -®  R, y: I -®  R, z: I -®  R.

Понятия предела, непрерывности и производной вводится аналогично таким же понятиям для обычных функций.

Определение. Пишем, что  = (t)^, если |(t) -  | = 0 (здесь уже получается предел обычной функции). Это равносильно следующему:

 

"e > 0 $d: | t - t_o| < d Þ |(t) -  | < e.

 

Говорим, что (t) непрерывна при t = t_o, если

(t) = (t_о);

 

(t) непрерывна на интервале I, если она непрерывна " t Î I.

Определение. Производная вектор-функции: I -® E³ в точке t_oÎ I определяется по формуле

 

 ¢(t_о) =.

 

Если предел существует для каждого t_oÎ I и t_o не фиксировать, то получим новую вектор-функцию  ¢: I -® E³.

Примем без доказательства, что  ¢(t) =x¢(t) i + y¢(t) j + z¢(t) k, т.е. вычислять производную вектор-функции можно покоординатно.

Вектор-функцию ¢(t) также можно дифференцировать. Получим вектор-функцию ²(t). Далее, естественным образом можем определить и производные высших порядков.

Определение. Говорим, что (t) принадлежит классу Cⁿ(I), если она определена на интервале I, у неё существуют все производные до порядка n включительно, и они непрерывны.

Определение. Вектор-функция (t) называется регулярной на интервале I, если | ¢(t) | > 0 (Û ¢(t) ¹⁾ " t Î I.

Пусть (t) и (t) - две вектор-функции, определенные на одном интервале I. Тогда для них можно ввести такие же алгебраические операции, что и для обычных векторов: сложение, вычитание, умножение на число, скалярное, векторное произведения.

(±⁾(t) = (t) ±(t), (l) (t) = l(t),

( · ⁾(t) = (t) · (t), ( ´ ⁾(t) = (t) ´ (t), " t Î I.

 

Для трёх вектор-функций, определенных одном том же интервале I, можно определить смешанное произведение (⁾(t) = (t)(t)(t) " t Î I. Мы получим новые функции (векторные или скалярные), которые тоже можно дифференцировать. При этом выполняются те же правила дифференцирования, что и для операций над обычными функциями:

 

( ± ⁾¢ =  ¢ ±  ¢, (l)¢ = l ¢,

( · ⁾¢ =  ¢ · +   · ¢, (´ ⁾¢ =  ¢´ +  ´  ¢.

Упражнение. Используя формулу для вычисления скалярного произведения по координатам, самостоятельно докажите, что имеет место равенство ( · ⁾¢ = =  ¢ · +   · ¢.

Также для вектор-функции имеет место формула Тейлора:

 

(t+Dt) = (t) + Dt ¢(t) +  ²(t) + … + ( ⁽ⁿ⁾(t) + e(t, Dt)),

 

где e(t, Dt) - бесконечно малая вектор-функция, т.е. e(t, Dt) = .

Для вектор-функции также можно определить понятия первообразной, неопределенного и определенного интегралов.

Если отложить все векторы (t), t Î I, от одной точки O - начала координат, то их концы образуют множество точек, которое называется годографом вектор-функции (t).

В дальнейшем, стрелочку над обозначением вектор-функции ставить не будем.