Вид кривой в подвижном репере

 

Пусть g - кривая класса с³, PÎg - точка в которой k¹0, k¹0, и {P, t, n, b }  - подвижной репер. Этот репер определяет декартову систему координат с началом Р. Обозначим координаты х, у, z.

Пусть  = c (s) - уравнение кривой с естественным параметром и P= c (0). Разложим c(s) в ряд Тейлора в окрестности s=0:

 

c (s) = c (0) + s (0) + (s) + (s) + s³ (s),

 

где (s) - бесконечно малый вектор при s-® 0. Поскольку c (0) - начало координат, то c (0) =. Мы также знаем, что = , = k . Тогда с помощью формул Френе находим

 

= n k = n k(- k t k b) = n  - k² t kk b.

c (s) = s× t + n + (n  - k² t kk b) + s³ (s).

 

Значит, если отбросить бесконечно малые величины порядка более 3, то

 

c (s) = t + n  b,

 

Поэтому параметрические уравнения кривой в окрестности точки P в наших координатах будут иметь вид:

 

 

если для каждой координаты оставить только величину, имеющую наибольшее значение при малых s.

Соприкасающаяся плоскость параллельна  и , т.е. в нашей системе координат это будет плоскость Оxy. Поэтому проекция кривой на эту плоскость будет иметь уравнение

 

Вид этой проекции в ближайшей окрестности точки P изображен на рисунке 1 (парабола).

Спрямляющая плоскость параллельна  и , т.е. в нашей системе координат это будет плоскость Оxz. Поэтому проекция кривой на эту плоскость будет иметь уравнение

 

Вид этой проекции в ближайшей окрестности точки P при k>0 изображен на рисунке 2 (кубическая парабола).

Нормальная плоскость парал-лельна n и b, т.е. в нашей системе координат это будет плоскость Оyz. Поэтому проекция кривой на эту плоскость будет иметь уравнение

 

 

 

Вид этой проекции в ближайшей окрестности точки P изображен на рисунке 3 (полукубическая парабола).

 

Огибающая семейства плоских кривых. Эволюта и эвольвента кривой

 

Определение. Пусть на плоскости задано семейство кри-вых {g_t}. Пусть кривая w в каждой своей точке касается одной из кривых семейства (т.е. имеет с ней общую касательную). Тогда w называется огибающей семейства кривых g_t.

Пусть семейство кривых {g_t} задано с помощью уравнения в неявном виде

(x, y, t) = 0, (17)

 

где t - параметр семейства, а кривая

w - параметрическим уравнением  = c (t) так, чтобы в точке c (t) она касалась кривой g_t (т.е. в качестве параметра у кривой w выступает «номер» линии с которой она касается в данной точке). При таком определении параметра точка c (t) = (x(t), y(t)) принадлежит кривой g_t, а значит, выполняется тождество

(x(t), y(t), t) º 0. (*)

Продифференцируем это тождество по t:

 

 x¢(t) +   y¢(t) +  = 0. (**)

 

В уравнении (17) для каждой отдельной кривой g_t параметр t выступает в качестве постоянной. Поэтому вектор grad F будет вектором нормали для кривой g_t. Но кривая w имеет вместе с g_t общую касательную, поэтому grad F будет вектором нормали и для кривой w. Следовательно,

 

 x¢(t) +   y¢(t) = 0.

 

Поэтому (**) принимает вид: ¶F/¶t = 0. Объединяя (*) и (**) получаем, что функции (x(t), y(t)) удовлетворяют системе уравнений

(x, y, t) = 0,_t(x, y, t) = 0.

 

Множество точек, которые удовлетворяют этой системе называется дискриминантной линий. Оно не всегда является кривой.

Примеры 1. Для семейства прямых y - tx = 0 система (18) имеет вид = tx = 0.

Дискриминантная линия состоит только из одной точки (0, 0).

2. Для семейства окружностей, изображённого на рисунке (центры окружностей находятся на единичной окружности с центором O, а радиусы равны 1) система (12) имеет вид

(x - cos t)² + (y - sin t)² = 1,

(x - cos t)·sin t - (y - sin t)·cos t = 0.

 

Она имеет два решения (проверьте подстановкой)

 = 2cos t, x = 0 = 2sin t; y = 0.

 

Только первое решение задаёт кривую.

Примем без доказательства, что если в каждой точке дискриминантной линии ¶j/¶x и ¶j/¶y одновременно в ноль не обращаются, то дискриминантная линия является огибающей кривой.

Определение. Проведём в каждой точке плоской кривой g нормаль к этой кривой. Получим семейство прямых n_t. Огибающая семейства этих прямых называется эволютой кривой g.

Оказывается, геометрическое место всех центров кривизны кривой g совпадает с её эволютой (без доказательства). Именно это свойство позволяет легко составить уравнение эволюты. Для того, чтобы получить точку

на эволюте, следует от точки на кривой отложить отрезок равный R (радиусу кривизны) в направлении вектора нормали n. Отсюда получаем уравнение эволюты в векторном виде:

 

 = c (t) + R n Û  = c (t) +   n,

 

где  = c (t) - уравнение кривой g. Для плоской кривой вектор (-y¢, x¢) перпендикулярен направляющему вектору касательной c ¢= (x¢, y¢), а значит, он направлен по нормали. Тогда

n = (,).

 

Согласно формуле (11¢)

 

R =.

 

Тогда уравнения эволюты кривой g:

 

x = x(t) - , y = y (t) + . (19)

Определение. Пусть кривая g задана уравнением с естественным параметром  = c (s). Из каждой точки c (s) кривой отложим вектор - s . Геометрическое место концов этих векторов называется эвольвентой кривой g.

Представим, что на часть кривой, соответствующей значениям s>0, намотана нить, конец которой находится в точке c (0). Будем разматывать эту нить, сохраняя её в постоянном натяжении. Тогда размотанная часть нити будет находиться на касательной к кривой, и длина этой части будет равна s. Таким образом, конец нити будет находиться

на касательной на расстоянии s от точки касания в направлении противоположном к направлению возрастания параметра. Значит, конец нити будет находиться на эвольвенте к данной кривой. Поэтому эвольвенту ещё называют развёрткой кривой.

На данном рисунке изображена развёртка окружности. Она широко применяется в технике: форму развёртки окружности имеют зубья цилиндрических шестерён.

Если кривая задана уравнением с естественным параметром  = c (s), то уравнение её развёртки кривой в векторном виде:

 

 = c (s) -s t Û = c (s) - s(s)^.

 

Если кривая задана уравнением с произвольным параметром, то уравнение развёртки этой кривой:

 

 = c (t) -s .

 

Если g¢ - эвольвента кривой g, то g является эволютой для g¢. Точно также, кривая g является эвольвентой для своей эволюты.

Пример. Для окружности, заданной уравнениями

 

x=acos t, y=asin t,

c ¢(t) = (- asin t, acos t), | c ¢(t)| = a, а естественный параметр s = at (убедитесь самостоятельно). Отсюда получаем уравнения развёртки:

 

x=a(cos t + tsin t),

y=a(sin t - tcos t).