Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе

= k,

то эта величина называется кривизной кривой g в точке Р. Другими словами, кривизна кривой - это скорость поворота её касательной.

Теорема 4. Регулярная кривая g класса С² в каждой своей точке имеет кривизну. Если  = c (s) - уравнение кривой с естественным параметром, то k = |(s)|.

Доказательство. Пусть Р = c (s), Q = c (s + s), тогда векторы (s) и (s + s) будут единичными направляющими векторами касательных в этих точках. Отложим их из одной точки. Получим равнобедренный треугольник с боковой стороной равной 1. Тогда находим основание:

 

|(s + s) - (s)| = 2sin.

Отсюда

= = = ·.

Перейдем здесь к пределу при s ® 0.

|(s)| = ·= 1· k,

 

т.к. при s® 0 также a® 0. Что и требовалось доказать.

Примем без доказательства, что для кривой заданной уравнением с произвольным параметром

 

k = =. (11)

Если кривая расположена на плоскости, то мы имеем c ₃ º 0. Поэтому получаем формулу для плоских кривых:

 

k = ^. (11¢)

 

(в данном случае mod означает числовой модуль).

Если кривая на плоскости задана уравнением в явном виде y=f(x), то мы можем переписать его в параметрическом виде

 

x = t, y=f(t).

 

Применим формулу (11¢):

 

k =.

 

Раскроем определитель и заменим обратно t на x. Окончательно получаем:

 

k = ^. (12)

Теорема 5. 1) Если кривизна кривой равна нулю всюду, то эта кривая есть прямая линия.

) Если кривая плоская и ее кривизна постоянна k=k_o= const>0, то это кривая - дуга окружности радиуса R =1/ k_o^.

Доказательство. Докажем только первый пункт. Пусть = c (s) - параметрическое уравнение кривой с естественным параметром. Имеем k = |(s)| º 0 Û (s) º. В развёрнутом виде получаем систему дифференциальных уравнений, и находим её решение:

 

Û Û

 

где b₁, b₂, b₃ - постоянные величины. Получили параметрические уравнения прямой.

Определение. Пусть g некоторая кривая, Р - точка на ней, Q, R - близкие к ней точки; если при Q и R стремящихся к Р окружность w стремится занять определенное положение w_o, то окружность w_o называется соприкасающейся окружностью к кривой g в точке Р, а её центр O и радиус R называются центром и радиусом кривизны кривой g в точке Р.

Примем без доказательства, что g и w_o имеют в точке Р одинаковую кривизну, а поскольку кривизна окружности радиуса R равна 1/R, то R = 1/k^. Центр кривизны кривой в точке P лежит на главной нормали к кривой в точке P.

При этом очевидно, что угол между соприкасающимися плоскостями будет равен углу между бинормалями в точках Р и Q.

Теорема 6. регулярная кривая g класса с³ имеет кручение в каждой точке, где кривизна отлична от нуля. Если c(s) - естественная параметризация кривой g, то

| k | =. (13)

Доказательство. Поскольку кривая регулярная, мы можем задать её с помощью естественной параметризации c (s). Тогда  ¹^. В тех точках, где k ¹ 0 выполнено ¹, а при естественной параметризации ^, значит в этих точках однозначно определена соприкасающаяся плоскость как параллельная этим векторам.

Пусть Р=c(s), Q=c (s+s) - две точки на кривой g, b(s) и b(s+∆s) - единичные векторы бинормали в этих точках, а q - угол между ними. Также как и в доказательстве теоремы 4,

 

| b (s+∆s) - b (s)| = 2sin, Þ = ×,

 

Перейдем в этом равенстве к пределу при s ® 0

 

|(s)| = · = 1·|k|,

 

т.к. при s®0 также и q ®0. Итак, |k|= | (s)|.

Т.к. | (s)| = 1, то (s)· (s) = 1. Продифференцировав это тождество, получим

 

· b = 0 Û ^ b.

 

Потом, b = t ´ n. Продифференцируем это равенство:

 =  ´ n + t ´ .

Теорема 7. Если кручение кривой тождественно равно нулю всюду, то эта кривая - плоская линия (без доказательства).

При этом, плоскость в которой она лежит, очевидно, является её соприкасающейся плоскостью. Для того, чтобы составить её уравнение, достаточно составить уравнение соприкасающейся плоскости в любой фиксированной точке на кривой,

где эта кривая регулярна и k ¹ 0. При этом равенство кручения нулю предполагает его существование, а значит предполагает, что k ¹ 0. Если в точке A выполнено k = 0, то в этой точке кривая может переходить из одной плоскости в другую.

Из этих формул и теорем о существовании и единственности решений систем дифференциальный уравнений вытекает основная теорема теории кривых.

Теорема 8. Если на некотором интервале IÌ R заданы непрерывная функция ks и гладкая функция k(s)>0, то существует кривая  класса С², для которой s будет естественным параметром, k - кривизной, а k - кручением. Такая кривая определяется однозначно с точностью до положения в пространстве, т.е. любые две такие кривые совмещаются движением.

Таким образом, кривизна и кручение полностью определяют форму кривой, но только при условии, что k(s)¹0 на всей кривой. Для того, чтобы определить положение кривой в пространстве надо задать к системе (12) начальные данные, а именно, начальные векторы t (0), n (0), b (0) и начальную точку кривой O=c(0), т.е. надо задать ортонормированный репер. Если кривая задается с помощью другого ортонормированного репера {O¢, t ¢, n ¢, b ¢}, то его можно совместить с первым репером с помощью движения, и тогда совместятся и задаваемые этими реперами кривые.