Просеивание потоков. Потоки Эрланга

Пусть имеется поток вызовов, для которого t₁, t₂,… есть моменты поступления вызовов. Выберем из этого потока часть вызовов, применив следующую операцию: вызов, поступающий в момент t_k (k=1, 2,…), с вероятностью ρ остается в новом потоке и с вероятностью (1сρ) теряется. Новый поток вызовов называется просеянным. Таким образом, просеянный поток образуется из заданного потока, в котором случайное число вызовов теряется, следующий вызов остается (просеивается), затем снова случайное число вызовов, имеющее тот же закон распределения, теряется, следующий вызов заданного потока остается и т.д. Операция, с помощью которой получен просеянный поток, называется рекуррентной операцией просеивания. Поток, получаемый из рекуррентного потока с помощью рекуррентной операции просеивания, также является рекуррентным.

Если основной поток - простейший с параметром λ и каждый вызов этого потока просеивается с вероятностью р и теряется с вероятностью (1-ρ), то просеянный поток будет также простейшим с параметром λρ. Из этого следует весьма важный для практики вывод: если поступающий на коммутационную систему простейший поток с параметром λ разделяется на h направлений и вероятность того, что вызов входящего потока поступает на i-е направление (i=1,2,…, h), равна ρ_i, то поток i-го направления является также простейшим с параметром λρ_i.

Используем отличную от рекуррентной операцию просеивания, при которой точно m вызовов потока теряются, (m+1) - й вызов просеивается, затем снова точно m вызовов теряются и (m+1) - й просеивается и т.д. В результате такой операции просеивания простейшего потока образуется так называемый поток Эрланга m-го порядка. Если в простейшем потоке сохранить (просеять) каждый третий вызов, то образуется поток Эрланга 2-го порядка, каждый второй вызов - поток Эрланга 1-го порядка. Естественно, простейший поток можно рассматривать как поток Эрланга нулевого порядка.

В потоках Эрланга любого порядка промежутки времени между вызовами независимы и распределены по одному и тому же закону, так как эти промежутки представляют собой сумму одинакового числа промежутков простейшего потока. В связи с этим потоки Эрланга являются рекуррентными. Математическое ожидание M(Z_m), дисперсия D(Z_m) и среднеквадратическое отклонение σ(Z_m) промежутка времени между вызовами в потоке Эрланга m-го порядка равны соответственно

; ; . (28)

Параметр этого потока

 (29)

Из (28) и (29) следует, что с увеличением порядка потока Эрланга увеличиваются математическое ожидание и дисперсия промежутка времени между вызовами и одновременно уменьшается параметр потока. Потоки Эрланга m-го порядка при разных т создают потоки с различной степенью случайности: от простейшего (m=0) до детерминированного (m=∞).