Электромагнитное поле. Электоромагнитные волны

ПРЕДИСЛОВИЕ

Задачник составлен в соответствии с программой по курсу «Основы оптики», который изучается в МГТУ им. Н. Э. Баумана. Умение решать задачи по физической оптике является важнейшей составной частью активного изучения курса. Содержание многих задач соответствует условиям работы реальных оптических элементов в оптико-электронных приборах, позволяющие студентам приобрести определенные навыки анализа их функционирования.

При составлении задачника максимально учтены основные тенденции развития оптического приборостроения. Поэтому наряду с традиционными задачами по электромагнитной и квантовой теории света большое внимание уделено задачам по перспективным направлениям в оптике, связанным с когерентным излучением, голографией, фурье-оптикой, частичной когерентностью излучения, фотометрией, многослойными покрытиями и кристаллооптикой.

Сборник задач построен таким образом, чтобы им можно было пользоваться как на семинарских занятиях, так и для самостоятельной внеаудиторной работы. Сборник задач состоит из семи глав, посвященных основным оптическим явлениям и закономерностям. Материал каждой главы изложен в следующем порядке: теоретические основы изучаемых явлений; вопросы для самоконтроля по теоретическому материалу; основные типы задач с решениями и задачи для самостоятельного решения.

Большинство задач, для решения которых требуются трудоемкие вычисления, снабжены ответами. Остальные задачи, работа над которыми состоит в преобразовании и выводе формул, а также предлагаемые для зачетов и контрольных работ, ответов не имеют. Отмеченные звёздочкой задачи рекомендуются в качестве домашнего задания на весь семестр.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ. ЭЛЕКТОРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ.

Теоретический материал

Основные понятия и величины, характеризующие электромагнитное поле. Уравнения Максвелла. Граничные и начальные условия. Волновое уравнение. Электромагнитные волны в вакууме. Плоские монохроматические волны. Сферические волны. Параболическое волновое уравнение. Гауссовы пучки. Действительная и комплексная записи электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга. Состояния поляризации электромагнитной волны. Неполяризованные волны.

Интегрирование уравнений Максвелла, с помощью векторного и скалярного потенциалов. Дифференциальные уравнения для потенциалов электромагнитного поля. Запаздывающие потенциалы. Классическая теория излучения (осциллятор, электрический диполь). Реакция излучения. Естественная ширина спектральной линии. Причины уширения спектральных линий излучения свободных атомов (ударное уширение, однородное, неоднородное уширение и т. д.).

Основные типы задач

1. Найти электромагнитное поле, возбуждаемое известным распределением зарядов и токов в пространстве.

Метод решения: решение уравнения Максвелла для заданного движения зарядов и токов.

2. Зная характеристики электромагнитного поля (напряженности и ) найти поток энергии, излучаемый системой в окружающее пространство.

Метод решения: найти выражение для вектора Пойнтинга в каждой точке пространства. В случае необходимости вычисления потока, проходящего через заданную поверхность S, следует вычислить поток вектора Пойнтинга через эту поверхность

3. Определить форму и ширину спектральной линии излучения.

Метод решения: определить форму спектральной линии, обусловленную влиянием причин уширения, и найти суммарную ширину линии.

4. Найти распределение интенсивности излучения заряда, вращающегося по окружности радиуса .

Метод решения: дипольный момент заряда, вращающегося по окружности радиуса , определяется по формуле . Поток излучения системы движущихся зарядов с дипольным моментом вычисляется по формуле:

Находим вторую производную дипольного момента

где – ускорение движущегося по окружности заряда.

Следовательно,

Найдем распределение интенсивности излучения заряда. Пусть P – точка, в которой определяется интенсивность излучения. Положение точки P определяется углами , и отрезком OP, направление которого определяется единичным вектором (рис. 1.1).

Интенсивность излучения в элементарном телесном угле находится из выражения:

где – вектор Пойнтинга.

; ;

;

Рис. 1.1.

;

Среднее значение по времени определяется с учетом

и .

В результате получаем:

Примечание. Решение задачи приведено в гауссовой системе единиц.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Электромагнитная монохроматическая волна распространяется в среде, параметры которой и изменяются только вдоль координатной оси , причем заряды и токи в среде отсутствуют (, , ). Электрический вектор электромагнитной волны колеблется коллинеарно оси , т.е. ,

Написать систему уравнений Максвелла для этого случая; доказать, что , и зависят только от координат и ; получить дифференциальное уравнение 2-го порядка, не зависящее от времени, для проекции .

2. Показать, что выражение характеризует однородную плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся в направлении вектора со скоростью .

3. Показать, что выражение является решением волнового уравнения при скорости распространения и характеризует сферическую волну.

4. Плоская гармоническая поляризованная вдоль оси x электромагнитная волна распространяется в неограниченном пространстве вдоль оси z. Диэлектрическая проницаемость среды магнитная проницаемость , удельная проводимость . Амплитуда напряженности электрического поля , угловая частота . Составить уравнение волны и определить её параметры. Определить величину и направление: вектора напряженности магнитного поля , вектора Пойнтинга .

5. Получить выражение для усреднённой плотности потока энергии монохроматической электромагнитной волны, амплитуда колебаний напряженности электрического поля в которой равна A. Оценить амплитуду A световой волны, приходящей на Землю от Солнца, если средняя плотность потока энергии солнечного излучения на поверхности Земли составляет ~1400 Вт/м²(поглощение в атмосфере не учитывается).

6. Сферическая монохроматическая волна освещает плоскую фотопластинку. Найти квадратичное приближение для комплексной амплитуды волны в плоскости фотопластинки, если её размеры значительно меньше расстояния до источника волны.

7. Две плоские линейно поляризованные монохроматические электромагнитные волны одинаковой частоты распространяются в одном направлении (вдоль оси ). При каком угле между плоскостями колебаний векторов и двух волн плотность потока энергии результирующей волны равна сумме плотностей потоков энергии каждой из волн?

8. Доказать, что для вектора Пойнтинга плоской электромагнитной волны с волновым вектором верна следующая формула: , где – фазовая скорость волны; ω – объемная плотность энергии; – единичный вектор волновой нормали.

9. Найти координаты точек касания эллипса поляризации (траектории движения конца вектора ) с описанным прямоугольником.

Ответ: P₁ ,

P₂ ,

P₃ ,

P₄

где , – амплитуды колебаний проекции вектора на оси , соответственно; – разность фаз между колебаниями ортогональных проекций вектора .

10. Определить поле элементарного электрического излучателя, если векторный потенциал поля

где r – расстояние от излучателя до точки, в которой определяется векторный потенциал; длина волны. Среда вокруг излучателя неограниченная, однородная; ее диэлектрическая проницаемость , магнитная проницаемость , а удельная проводимость .

11. Определить мгновенное значение вектора Пойнтинга для поля, рассмотренного в задаче 10, в двух областях:

а) в ближайшей зоне,

б) в дальней зоне.

12. Показать, используя данные задачи 10, что в дальней зоне в единице объема содержится одинаковое количество энергии электрического и магнитного полей:

13. Вычислить, поток вектора Пойнтинга через сферическую поверхность радиусом для случая, рассмотренного в задаче 10.

14. Найти интенсивность и угловое распределение излучения системы из двух одинаковых зарядов e, вращающихся с постоянной угловой скоростью ω по окружности радиуса и находящихся в противофазе.

15. Оценить время жизни атома водорода в модели Резерфорда, считая . Начальный радиус орбиты электрона .

16. Частица с зарядом e и массой m рассеивается в поле неподвижного кулоновского центра с зарядом q. Скорость частицы в бесконечности равна , прицельное расстояние – ρ. Найти полную энергию, излученную частицей за всё время движения, если

, .

17. Частица с зарядом e и массой m налетает из бесконечности на неподвижный кулоновский центр с зарядом q того же знака. Столкновение лобовое (прицельный параметр ); скорость частицы в бесконечности . Найти полную энергию излучения за все время столкновения.

18. Частица с зарядом e и массой m движется в одномерном постоянном магнитном поле H. Считая , оценить время затухания движения частицы вследствие излучения.

19. Найти спектр колебания:

а) , причем

б) .

20. Найти спектр и полуширину спектра затухающего гармонического колебания

Рассмотреть случай .

Ответ: .

21. Оценить естественную ширину спектральной линии излучения для
, если время излучения атома .

22. Найти спектр и полуширину спектра последовательности волновых цугов длительностью , если:

Ответ: .

23. Два источника уширения спектральной линии приводят к лоренцовым формам линии шириной и . Показать, что суммарное уширение , а форма линии останется лоренцовой.

24. Для случая двух механизмов, ведущих к гауссовым формам спектральной линии, найти суммарную ширину спектральной линии и показать, что форма линии гауссова.

Вопросы для самоконтроля

1. Написать систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме, раскрыв операторы rot и div.

2. Записать систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме с помощью векторного дифференциального оператора Гамильтона:

где , , – единичные векторы координатных осей.

3. Написать систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в вакууме в отсутствии зарядов и токов (, ) при условии, что векторы , колеблются с частотой коллинеарно координатной оси , а векторы , – оси .