Распространение световых волн в изотропных средах 5 страница

,

где ,  – координаты в плоскости отверстия; ,  – координаты в плоскости наблюдения;  – площадь отверстия.

Для любой точки на оси ,  и поэтому,

.

Перейдем к полярным координатам:

; ;

Перейдя к интенсивности, получим:

,

причем , где   – интенсивность света в точке Qпри отсутствии экрана с отверстием;  при  или , где – целое число, т.е. когда на отверстии укладывается четное число зон Френеля. При  интенсивность света монотонно уменьшается до нуля.

При малом числе зон Френеля, открываемых отверстием, справедливо . Считая допустимое отклонение  от единицы не более 10%, оценим расстояние :

.

Откуда получаем:

 или

Следовательно, расстояние до экрана от диафрагмы с отверстием должно удовлетворять условию На отверстии при этом укладывается следующее число зон Френеля:

.

Например, при  и  количество открытых зон Френеля .

2. Рассчитать параметры (общее число  зон Френеля и радиус  каждой зоны) амплитудной зонной пластинки, обеспечивающей изображение точечного  истоникка А в точке В  (рис. 5.4.). Положение точек А и В заданы отрезками  и , радиус  зонной пластинки (отверстия) - , длина волны - .

 

Рис. 5.4.

 

Решение. Пусть  – радиус последней m- ой зоны. Оптическая разность хода лучей, идущих в точку В через край m- ой зоны  (ABC) и вдоль оптической оси (AOB), равна:

Кроме того, по определению зонной пластинки имеем:

.

Тогда получаем следующее выражение:

Введем понятие фокусного расстояния  пластинки:

Тогда общее число зон будет равно

.

Аналогично для радиуса  ой зоны  получаем:

.

4. Тонкая линза с фокусным расстоянием  фокусирует параллельный пучок монохроматического излучения (). Диаметр линзы . Во сколько раз интенсивность света в фокусе линзы превышает интенсивность падающего излучения.

Решение:

Применим дифракционный интеграл Френеля-Кирхгофа в приближении Френеля:

где - амплитуда падающей волны,  – амплитудный коэффициент пропускания  линзы;  – координаты в плоскости линзы.

В параксиальном приближении для тонкой линзы, работающей, как фазовый транспарант:

.

Для заднего фокуса  линзы имеем  и,следовательно:

,

поэтому интенсивность света в фокусе линзы

,

то есть примерно в миллион раз выще интенсивности падающей волны.

4. Найти распределение интенсивности в дифракционной картине Фраунгофера при нормальном освещении амплитудной дифракционной решетки с периодом  и шириной щелей (рис. 5.5).

Рис 5.5.

 

 

Решение:

В направлении угла  элементарный участок m -ой щели посылает волну:

,

где  – координата, отсчитываемая от края m -ой щели.

Вся m -ая щель посылает волну:

От всех N щелей, являющихся когерентными излучателями, получим следующее выражение для комплексной амплитуды волны в направлении угла :

          (5.1)  

Вычислим выходящий в выражение (5.1) интеграл:

.

Воспользовавшись формой Эйлера, получаем:

,

где .

Вычислим входящую в выражение (5.1) сумму, используя формулу для геометрической прогрессии и введя обозначение :

                                               .

В результате выражение (5.1) можно переписать в следующем виде:

              (5.2)

Переходя к интенсивности света, получаем:

                                 (5.3)

где , ,

     – распределение интенсивность в дифракционной картине, создаваемой только одним периодом дифракционной решетки.

Максимумы интенсивности  определяются условием:

, где , , ,…                                    (5.4)

они называются главными максимумами.

5. Показать, что для дифракционной решетки с периодом  (  – ширина щели), все четные главные максимумы обращаются в 0.

Решение:

Значение интенсивности в главных максимумах можно определить из выражения (5.3) при подстановке в него условия (5.4):

,

которое с учетом соотношения  принимает вид:

Анализ этого выражения показывает, что при четном порядке главного максимума значение интенсивности обращается в 0, а при нечетном:

.

6. Прозрачная периодическая структура, профиль которой изображен на рис. 5.6, освещается нормально па­дающей плоской монохроматической вол­ной. При заданном показателе прелом­ления п подобрать высоту ступени h, чтобы главный максимум первого порядка был максимально интенсивен. Чему рав­на в этом случае интенсивность максимума нулевого порядка?

Рис 5.6.

 

 

Решение:

Воспользуемся результатом решения задачи 4. Согласно формуле (5.3) результат дифракции на периодической структуре определяется дифракцией на одном периоде такой структуры  и интерференцией волн от всех периодов, учитываемых отношением .

Найдем распределение интенсивность в дифракционной картине, создаваемой только одним периодом периодической структуры, состоящим из участков I и II (рис 5.6). 

Пусть  – комплексная амплитуда волны, дифрагировавшей на участке I. В силу того, что , линейный размер участка Iравен линейному размеру участка II, а следовательно модуль комплексной амплитуды волны от участка Iравен модулю комплексной амплитуды волны от участка II. Однако, волна от участкаII оказывается сдвинута по фазе на некоторую величину :

При суммировании волн получаем:

.

Переходя к интенсивности сум­марного поля, подучаем:

,                                         (5.5)

где .

Для того, чтобы интенсивность в главном максимуме первого порядка была максимальна из выражения (5.5) следует, что должно выполнить условие:

.                                                           (5.6)

Для вычисления  найдем оп­тическую разность хода  между лучами 1 и 2 в зависимость от угла дифракции  (рис. 5.7):

.

Соответствующая разность фаз равна:

 

Рис. 5.7.

 

Подставляя выражение для  в выражение (5.6), получим значение высоты профиля:

.

При этом для главного максимума нулевого порядка  и, следовательно, из выражения (5.5) получаем, что . А так как , то интенсивность всех главных максимумов четных порядков также становится равной нулю.

 

Задачи для самостоятельного решения

 

1. Квадратное отверстие освещается параллельным пучком солнечных лучей в спектральном диапазоне (), падающих нормально к плоско­сти отверстия. Длина стороны квадратного отверстия . Найти размер  дифракционной картины на экране, удаленном на  от отверстия. Границей освещенности на экране считать по­ложение первого дифракционного минимума наиболее сильно откло­ненных лучей.

Ответ: .

2. Параллельный пучок монохроматического света () падает нормально на щель шириной . Объ­ектив с фокусным расстоянием  расположен за щелью. Какова линейная ширина центрального дифракционного максимума, наблюдаемого в фокальной плоскости объектива?

Ответ: .

3. Параллельный пучок монохроматического света падает на проволоку диаметром , натянутую перпендикулярно к направ­лению распространения света. На экране, расположенном перпенди­кулярно к направлению распространения света, на расстоянии  от проволоки наблюдаются дифракционные полосы, расстояние между которыми . Найти длину волны света.

Ответ: .

4. Параллельный пучок монохроматического света диаметром , расходимость которого определяется только дифракцией, направлен на Луну. Определить диаметр освещенного на Луне участка поверхности, если , а расстояние от Земли до Луны . Расстоянием в атмосфере пренебречь.

Ответ: .

5. Точечный источник монохроматического света расположен на расстоянии  от круглого отверстия, а экран – с противопо­ложной стороны на расстоянии . При каких значениях радиуса  отверстия центр наблюдаемых на экране дифракционных колец будет светлым и при каких – темным? Вычислить диаметры отверстий , , соответствующих первой и второй зонам Френеля, при и .

Ответ: при  – центр картины светлый; при  – темный,

        где ;

       ;

6. На длиннофокусную тонкую собирающую линзу c ирисовой диафрагмой падает параллельный пучок монохроматического света. На расстоянии  от линзы помещен экран, на котором наблюдаются дифракционные кольца. При каких радиусах  диафрагмы центр ко­лец будет светлым, а при каких - темным?

Ответ: , при ;

   , при .

где  – фокусное расстояние линзы. Центр колец будет темным если  – четное число.

7. Плоскую пластину с радиусами колец, пропорциональным квадратному корню из целых чисел, приближенно можно считать зоной пластиной Френеля: при значительном увеличении числа зон Френеля наблюдается заметное ухудшение качества изображения. Рассчитать допустимое число N прозрачных зон, если точечный источник и точка наблюдения находятся соответственно на рас­стояниях  и  от пластины, а длина волны .

Указание: чтобы не вносить заметной ошибки в амплитуду, оптическая разность хода по сравнению с квадратичным приближением должна быть меньше .

Ответ: .

8. В камере с малым отверстием расстояние от отверстия до фотопластинки . Необходимо получить изображение Солнца в видимом спектре (). Определить диаметр отвер­стия, чтобы изображение было наилучшим

Ответ: .

9. Рассчитать распределение комплексной амплитуды дифраги­рующей волны лазерного излучения при гауссовом распределении амплитуда на плоском волновом фронте (рис. 5.8):

.

Рис 5.8.

 

 

Указание. Воспользоваться интегралом Френеля-Кирхгофа:

,

где ,

а также интегралом Пуассона:

Ответ: ,

где ; ; .

10. Вычислить минимальное число штрихов решетки, которая может разрешить натриевый дублет в спектре первого порядка (; ).

Ответ: .

11. Плоская амплитудная дифракционная решетка с отношением ширины щели к периоду  освещается нормально падающей плоской волной длиной . Найти отношение интенсивностей в максимумах первого и шестого порядков дифракции, полученных с помощью этой ре­шетки.

Ответ: .

12. Найти распределение интен­сивности  в дифрагированной волне, если плоская монохроматическая волна падает по нормали на фазовую решетку с показателем преломления , профиль штрихов, которой показан на рис. 5.9. Определить число  главных дифракционных макси­мумов, наблюдаемых в дифракционной картине.

Рис 5.9.

 

 

Ответ:   

где , ;

наблюдается один главный дифракционный максимум при .

13. Найти распределение интенсивности  в дифрагированной волне при падении по нормали плоской монохроматической волны на амплитудную решетку, коэффициент пропускания которой изменяется по синусоидальному закону в направлении оси  и постоянен в направлении оси . Известно, что амплитуда прошедшей вол­ны сразу за решеткой зависит от координаты  по закону: , где ,  - период решетки. Максимумы каких порядков наблюдаются на такой решетке?

Ответ:   

где ; - общее число периодов.

Наблюдаются три дифракционных максимума при .

14. Дифракционная решетка имее  штрихов на 1 мм. Под каким углом должно падать на решетку излучение длиной волны , чтобы в направлении перпендикулярном к решетке, образовался дифракционный максимум второго порядка.