2020-05-12
391
Зная значения области интерференции и ширины интерференционной полосы, получаем выражение для количества полос:
.
4. Луч света от точечного источника падает под углом 
на стеклянную плоскопараллельную пластину (рис. 4.4). Лучи отраженные от верхней и нижней граней пластины при помощи объектива соединяются в задней фокальной плоскости последнего и
Рис 4.4.
интерферируют. Какому условию должна удовлетворять оптическая разность хода интерферирующих лучей для образования максимума (минимума) интенсивности? Ограничиться рассмотрением двухлучевой интерференции.
Решение:
Оптическая разность хода двух лучей равна:
,
где слагаемое 
характеризует потерю полуволны при отражении от более оптически плотной среды в точке А.
Из рисунка очевидны следующие соотношения:
,
.
Используя эти отношения и закон преломления 
, получаем:
.
Максимумам и минимумам интенсивности соответствует следующие условия:
– для максимумов,
– для минимумов,
где 
, 
, 
, …
5. Квазимонохроматический источник света Ис длинной волны 
освещает щели 
и 
в схеме Юнга наблюдения интерференционных полос (рис.4.5). Оценить допустимые размеры источника.
Решение:
Любые две точки источника независимо создают на экране интерференционные картины. Складывая интенсивности этих интерференционных картин, получаем суммарное распределение интенсивности.
Для лучей, выходящих из центральной точки А источника, оптические пути лучей до щелей и равны между собой – оптическая разность хода между лучами на этом участке отсутствует. На участке от щелей и до точки Р оптическая разность хода образуется вследствие различной геометрической длины хода лучей до точки Р. Обозначим её через 
.
Рис. 4.5.
Тогда оптическую разность хода лучей 
, выходящих из крайней точки Cисточника и попадающих после прохождения щелей и вточку Р равна (рис. 4.6):
Рис. 4.6.
.
Данное выражение было получено при условии, что 
и 
.
Если 
, то контраст интерференционных полос остается высоким (не менее 
, поэтому имеем:
или 
.
Обозначив угловой размер источникам 
можно также написать соотношение для допустимого расстояния между щелями 
.
6. В схеме Юнга (рис. 4.7) используется точечный квазимонохроматический источник со средней длиной волны 
и шириной спектра 
. Какому соотношению должна удовлетворять оптическая разность хода между интерферирующими лучами для наблюдения интерференционной картины на экране?
Рис. 4.7.
Решение:
Пусть 
и 
– крайние длины волн спектрального диапазона. Интерференционные полосы размываются, начиная с той точки, в которой максимум интенсивности 
порядка длины волны 
накладывается на максимум 
порядка длины волны 
. В этом случае промежуток между максимума и для длины волны будет заполнен максимумами 
-ого порядка всех длин волн от до .
Условие этого наложения записывается через равенство оптической разности хода 
:
Из этого условия получаем, что для наблюдения контрастной интерференционной картины необходимо выполнение условия:
.
7. В интерферометре Майкельсона используется натриевая лампа, излучение которой представляет собой две близкие спектральные линии с 
и 
. При поступательном перемещении одного из зеркал интерферометра интерференционная картина периодически размывается. Найти расстояние между двумя соседними положениями перемещающегося зеркала, соответствующими полному размытию интерференционной картины.
Решение:
Размытие интерференционных полос происходит, когда темные полосы, соответствующие одной длине волны, накладываются на светлые полосы, соответствующие другой. Это имеет место при выполнении следующего условия:
где 
, , , …
Оптическая разность хода в интерферометре Майкельсона определяется удвоенной разностью плеч. Обозначим через 
величину перемещения зеркала интерферометра от одного до следующего размытия полос. Такое перемещение зеркала вызывает изменение оптической разности хода на величину 
. Тогда справедливо соотношение:
,
где 
– изменение порядка интерференции от одного до другого последовательного состояния размытия интерференционных полос.
Отсюда получаем:
,
где 
.
В итоге для искомого перемещения зеркала получаем:
8. На плоскопараллельную прозрачную пластину толщиной 
и показателем преломления 
, находящуюся в воздухе, под углом 
падает плоская монохроматическая линейно поляризованная волна (рис. 4.8). Найти интенсивности отраженного (
) от пластины и прошедшего (
) через нее света, если интенсивность падающего света (
) 
Решение:
Введем следующее обозначения:
– амплитуда падающей, отраженной и прошедшей волн, соответственно;
– разность фаз между соседними лучами, где 
– угол преломления луча в пластине;
Рис 4.8.
– амплитудные коэффициенты отражения каждой поверхности пластины при внешнем и внутреннем отражении, соответственно;
– амплитудные коэффициенты преломления каждой поверхностей пластины при преломлении из воздуха в стекло и из стекла в воздух, соответственно;
– энергетический коэффициент отражения от каждой поверхности пластины;
– энергетический коэффициент пропускания каждой поверхности пластины, при этом из закона сохранения энергии 
;
N 
– число лучей вышедших из пластины;
В случае плоскопараллельной пластины, луч отраженный от передней поверхности и отраженные от задней поверхности и вышедшие из пластины после преломления параллельны между собой. В этом случае комплексная амплитуда отраженного света складывается из комплексных амплитуд каждого луча и равна:
.
Первое слагаемое соответствует внешнему отражению падающего луча от передней поверхности пластины. Слагаемые, начиная со второго, получаются за счет многократного отражения от задней поверхности и последующего преломления на передней поверхности пластины. Эти слагаемые представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 
. С учетом этого, получаем:
Переходя к интенсивности отраженного света, получим
. (4.1)
где 
– интенсивность падающей волны.
Для комплексной амплитуды прошедшей волны можно записать аналогичное выражение
Эти слагаемые также представляют собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем . С учетом этого, получаем:
Соответствующая интенсивность прошедшего света равна:
(4.2)
Формулы (4.1) и (4.2) называются формулами Эйри.
9. В интерференционной схеме Юнга (см. рис. 4.5) отверстия освещаются немонохроматическим светом. Определить контраст интерференционной картины, наблюдаемой на экране.
Решение:
В случае частично когерентного излучения интенсивность света в произвольной точке Р интерференционной картины равна:
(4.3)
где 
, 
– интенсивность света в точке Р от первого и второго отверстий в отдельности, соответственно.
– функция комплексной степени когерентности в точках, соответствующих первому (
) и второму (
) отверстиям; 
– комплексная амплитуда, создаваемая в точке Р отверстием ; 
– комплексная амплитуда, создаваемая в точке Р отверстием .
В общем случае функцию комплексной степени когерентности можно представить в следующем виде:
,
где 
– аргумент 
, 
– средняя круговая частота излучения; 
– время запаздывания в точке P волны от одного отверстия относительно волны от другого отверстия; 
– скорость света в вакууме.
Перепишем формулу (4.3) в виде:
.
При 
имеем 
.
При 
имеем 
.
Зная максимальное и минимальное значение интенсивности, найдем контраст интерференционной картины:
.
Если 
, то 
Задачи для самостоятельного решения
1. Доказать, что если разность между фазами двух складываемых колебаний беспорядочно изменяются во времени, т.е. за время наблюдения все значения разности между фазами равновероятны, то интенсивность результирующего колебания равна сумме интенсивностей исходных колебаний.
2. Плоская монохроматическая волна проходит через стеклянную плоскопараллельную пластину вдоль нормали к ее поверхностям. Толщина пластинки 
, показатель преломления 
Чему равен фазовый сдвиг при выходе волны из пластины?
Ответ: 
.
3. В опыте Ллойда (рис 4.9) световая волна, исходящая непосредственно от точечного источника И, интерферирует с волной, отраженной от зеркала. В результате на экране
Рис 4.9.
образуется система интерференционных полос. Найти распределение интенсивности света на экране, считая энергетический коэффициент отражения зеркала равным 
Ответ: 
, где 
– интенсивность излучения точечного источника света. Указание: учесть потерю 
при отражении от зеркала.
4. В установке с зеркалом Ллойда расстояние от источника света до экрана 
При некотором удалении источника от зеркала 
ширина интерференционных полос на экране 
, а после того, как источник отодвинули о зеркала на 
, ширина полос уменьшилась в 
раза. Найти длину волны света 
и контраст интерференционной картины, если энергетический коэффициент отражения зеркала 
5. В интерференционной схеме с бизеркалом Френеля угол между зеркалами 
(рис 4.10). Расстояния от вершины бизеркала до источника света и экрана равны соответственно 
и 
. Длина волны излучения источника 
. Определить:
а) ширину 
и число 
интерференционных полос на экране;
б) сдвиг интерференционной картины на экране при смещении источника на 
по дуге радиуса r c центром в вершине бизекала;
в) ширину источника, при которой полосы на экране будут наблюдаться еще достаточно отчетливо.
Рис 4.10.
6. В схеме Юнга (рис. 4.7) использован точный источник монохроматического излучения. Определить контраст интерференционной картины на экране, если интенсивность световой волны от одной из щелей с помощью нейтрального фильтра ослаблена в 100 раз.
Ответ: 
.
7. В схеме Юнга (рис 4.7) щели 
и 
освещаются монохроматическим светом длинной волны 
. Освещенность в некоторой точке P, удаленной от центра экрана на расстояние 
при поочередном закрывании щелей и равна 
и 
, соответственно. Определить освещенность в точке P при обеих открытых щелях, если расстояние между ними 
, а удаление щелей от экрана 
. Определить расстояние 
от точки P до ближайшего минимума. Чему равен контраст интерференционной картины в окрестности точки P? Источник света считать точечным и расположенным в точке А (рис. 4.5).
8. В интерференционной схеме Юнга (рис. 4.7) одна из щелей закрыта тонкой плоскопараллельной толщиной с показателем преломления . Чему равна величина смещения 
центрального максимума в интерференционной картине, если источник света точечный и монохроматический.
Ответ: 
.
9. В Интерференционной схеме с бипризмой Френеля (рис. 4.3.) точечный источник помещен в передний фокус линзы и бипризма освещается параллельном пучком монохроматического света. Показать, что ширина интерференционных полос не зависит от расстояния между бипризмой и экраном. Найти ширину интерференционных полос, если показатель преломления стекла бипризмы 
, преломляющий угол 
, 
Ответ: 
10. Расстояние от бипризмы Френеля до узкой освещенной щели и до экрана равны соответственно 
, 
. Показатель преломления стекла призмы и ее преломляющий угол составляют , 
Найти среднюю длину волны света 
и оценить ширину спектра 
, если известно, что ширина интерференционных полос на экране 
, и "размазывание" максимума полосы на краях картины 
не превышает 
ширины полосы.
11. Билинза Бийе, половинки которой раздвинуты на расстояние 
, освещается монохроматическим точечным источником с длинной волны 
и удаленным от линзы на расстояние 
(рис. 4.11). Расстояние между билинзой и экраном 
. Определить фокусное расстояние линзы и ширину интерференционных полос на экране, если известно, что при малом смещении источника в направлении оси 
на величину 
интерференционные полосы смещаются на величину 
.
Рис 4.11.
12. На металлическое зеркало нормально падает пучок света длиной волны 
, причем образуется стоячие волны. На каком расстоянии 
от зеркала находится пучность и 
первый узел электрического вектора светового поля?
