Инерционные характеристики абсолютно твердого тела

Масса тела, а также геометрия пространственного распределения элементарных масс в объеме тела влияют на его способность к ускорению или замедлению поступательного движения или вращения тела вокруг неподвижной оси или подвижной (мгновенной) оси вращения твердого тела. Эти массовые свойства тела называются инерционностью тела.

Определения.

Центр масс С тела есть постоянная в теле точка в системе координат , связанной с телом:

Здесь вектор определяет в теле положение элементарной массы тела по отношению к началу подвижной системы координат, - её элементарный объем. Удельная массовая плотность . Массу всего тела обозначим

При движении тела центр масс движется в неподвижной системе координат и имеет текущее положение

скорость центра масс и

ускорение центра масс

Распределение масс твердого тела по отношению к оси.

Выберем в пространстве некоторую прямую линию (ось) в направлении единичного вектора , имеющую одной из своих точек точку тела.

Для некоторого твердого тела с массой определим некоторую скалярную величину , задающую расположение всех элементарных масс тела по отношению к оси. Назовем ее моментом инерции телаотносительно оси или осевым моментом инерции тела:

Выберем в теле ортогональную систему координат и обозначим косинусы углов между вектором и векторами базиса;

Из рисунка видно, что

Поэтому

Вектор можно представить в виде:

где выражения в квадратных скобках

есть элементы матрицы линейного отображения , сопоставляющего вектору скаляр – осевой момент инерции

Симметричный линейный оператор , называется оператороминерции тела в системе координат, связанной с телом, с началом координат в точке О.

Матрица оператора инерции в связанном с телом базисе имеет постоянные элементы, так как все элементарные массы тела имеют фиксированные расстояния от оси , а также от координатных осей и координатных плоскостей декартовых координат. Диагональные элементы матрицы называются осевые моменты инерции , относительно осей координат, а недиагональные элементы называются центробежные моменты инерции

Очевидно, что

Окончательно, осевой момент инерции тела относительно оси вычисляется следующим образом:

Это есть билинейное отображение вектора , направленного вдоль оси, одной из точек которой является точка тела, в число – осевой момент инерции.

Если в декартовых координатах обозначить расстояние от элементарной массы dm до оси Оz, то

Так как выбор осей координат в теле произволен, то, для упрощения вычисления моментов инерции относительно любой оси с направлением , можно выбрать такие оси декартовых координат, в которых было бы как можно меньше ненулевых элементов матрицы оператора инерции. При этом надо учесть, что оператор инерции имеет симметричную матрицу. Тогда собственные векторы этого оператора взаимно ортогональны, Поэтому, если базис системы координат направить вдоль собственных векторов, то в этом базисе матрица оператора инерции будет диагональной. Тогда центробежные моменты инерции относительно осей координат будут равны нулю. Положительные собственные числа оператора инерции будут осевыми моментами инерции.

Можно доказать, что ось геометрической симметрии однородного тела есть главная ось оператора инерции тела для всех точек оси. Главными осями инерции являются все оси, перпендикулярные к плоскости геометрической симметрии однородного тела.

Заметим, что для вычисления осевого момента инерции относительно любой оси часто удобней выбирать начало координат не в любой точке на оси , а в центре масс тела.