Механика - наука, изучающая движение и взаимодействие материальных тел

Теоретическая механика

Учебное пособие

 

 

Новосибирск, НГУ, 2020

 

 

Введение.

Механика - наука, изучающая движение и взаимодействие материальных тел.

Теоретическая механика изучает движение и взаимодействие тел математическими методами.

Метод изучения:. используются понятия и законы экспериментальной механики, понятия и методы математики (математический анализ, линейная алгебра, дифференциальная геометрия, дифференциальные уравнения). Взаимодействия тел моделируются аксиоматически на основе аксиом механических взаимодействий тел.

Предмет курса: классическая механика (Ньютон, Даламбер, Лагранж, Гамильтон).

В пособии основной моделью классической механики является абсолютно твердое тело.

Основные понятия механики. Пространство, время, система отсчета. Пространство трехмерно, время одномерно. Предполагается, что существуют системы отсчета, называемые инерционными, в которых движение и взаимодействие тел не зависит от выбора той или другой системы отсчета.  

  Взаимодействие материальных тел (действие – противодействие).

Сила – мера взаимодействия. Аксиома Ньютона: для двух взаимодействующих тел сила действия равна по величине и противоположна по направлению силе противодействия. Эти силы имеют общую линию действия.

Механическая система. В механическую систему включают все материальные тела, движение и взаимодействие которых необходимо и возможно учитывать при решении конкретной задачи. Говорят, что механическая система замкнута. Сумма всех (внутренних) сил взаимодействий и сумма моментов этих сил системы равна нулю.

Свободная система тел. В свободной системе тела не контактируют друг с другом при движении.

   Несвободная система. Связи (constraints). Уравнения связей.

 Если тело при движении контактирует с другими телами, то его положение в пространстве не может быть произвольным. Ограничения (связи) на положения тел системы записываются в виде уравнений геометрических связей.  

Пример 1. Математический маятник: тело, подвешенное на невесомой нити, имеющей постоянную длину , которое движется в вертикальной плоскости  по части окружности. Вращением тела в данной модели пренебрегают Уравнения геометрических связей: , . Три координаты связаны двумя уравнениями. Поэтому имеется одна независимая   координата. Говорят, что точка имеет одну степень свободы. В качестве независимой (обобщенной) координаты в данном примере может быть выбрана одна из декартовых координат, либо другая координата (угловая, дуговая), связанная с декартовой координатой.  

  Ограничения на скорость и ускорение точки представляются в виде кинематических уравнений связей. которые получают из геометрических уравнений их дифференцированием по времени. Уравнения кинематических связей маятника имеют вид:

                    ,  .

Пример 2. Плоское качение твердого цилиндра без проскальзывания по негладкой плоскости. В общем случае положение твердого тела определяется шестью координатами – тремя координатами полюса в теле и тремя углами ориентации подвижного базиса в теле по отношению к неподвижному базису. Условие качения без проскальзывания можно выразить следующим образом: для некоторой точки  на поверхности цилиндра принято, что в начальном положении   она находилась в начале координат. Тогда отрезок  равен по величине дуге окружности  В данном примере шесть параметров связаны пятью уравнениями связей:

выражает первое уравнение. Цилиндр имеет одну степень свободы.

  Число независимых параметров (обобщенных координат), задающих положениесистемы тел, называют ее числом степеней свободы.

Абсолютно твердое тело есть модель реального тела, имеющее постоянную массу и сохраняющее при движении тела постоянные расстояния между любыми двумя его точками.