Движение точки вдоль траектории. Скорость и ускорение точки в проекциях на естественный ортонормированный базис

Траектория какой-либо точки тела есть геометрическое место всех последовательных положений точки при движении тела. Принимаем, что это есть некоторая гладкая кривая линия в .

Пусть движение точки тела (далее точки) задано в декартовых координатах:

Выберем на кривой начало отсчета О дуговой координаты s точки М при ее движении как расстояние вдоль кривой от начального положения (точки О) до ее текущего положения М:

Далее, примем в качестве параметра вместо времени t дуговую координату s:

Касательный к траектории вектор   определим следующим образом:                                         

Вектор главной нормали   перпендикулярен к вектору

Величина  называется кривизной кривой в точке М, а величина     называется радиусом кривизны.

В каждой точке траектории три единичных вектора  и  взаимно перпендикулярны и образуют естественный ортонормированный базис, ориентация векторов которого определяется видом траектории и положением точки М на траектории.

Движение точки в естественной форме

Скорость точки  направлена по касательной к траектории: 

а её проекция на ось   равна:

Ускорение точки   раскладывается по естественному базису так:

Они называются так: касательное  и нормальное   ускорения. Окончательно:

Если траектория точки есть окружность с радиусом R, то кривизна окружности равна, по определению, радиусу окружности, и поэтому нормальное ускорение точки есть