Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

 В теле имеется две неподвижные точки. Тогда все точки оси , проходящей через эти точки, неподвижны. Нет поступательного движения, а вращательное движение задается одним параметром – углом поворота  подвижных векторов базиса и вокруг неподвижной оси .

Матрица вращения  выражается через угол  вращения тела вокруг оси :

откуда вектор угловой скорости  имеет в неподвижном базисе одну ненулевую компоненту :

Во вращении твердого тела вокруг неподвижной оси вектор угловой скорости параллелен оси вращения  (по определению).

Скорости точек тела перпендикулярны к оси вращения и к вектору . Точки тела движутся по окружностям с радиусами R, равными расстоянию точек от оси вращения и имеют величину

Скорость любой точки тела можно представить в следующем виде:

Плоское движение твердого тела. Скорость полюса  расположена в одной и той же неподвижной плоскости  а угловая скорость перпендикулярна плоскости:  

Плоское движение есть композиция поступательного и вращательного движений. Для двух точек А и В плоской фигуры тела скорости точек лежат в плоскости фигуры, а угловая скорость ей перпендикулярна.

Плоское движение имеет три степени свободы. Скорости любых двух точек тела связаны соотношением:

Мгновенный центр скоростей (мгновенная ось вращения) в плоском движении тела. Для непоступательного плоского движения твердого тела в любом положении тела существует точка   Р плоской  фигуры  (или ее продолжения), скорость которой равна нулю. Эта точка называется мгновенный центр скоростей плоской фигуры. Взяв её за полюс, и зная, что скорость полюса равна нулю, получим, что скорость любой точки А плоской фигуры перпендикулярна вектору :

Эта формула задает поле скоростей точек твердого тела в плоском движении.

Ось, перпендикулярную плоскости фигуры и проходящую через мгновенный центр скоростей, называют мгновенной осью вращения.

Таким образом, непоступательное плоское движение тела можно представить, в каждом положении тела, как только вращательное.

Сферическое движение тела. В этом движении имеется одна неподвижная точка в теле О.  Поэтому

Мгновенная ось вращения, если может быть найдена, проходит в этом случае через неподвижную точку.

Ускорение точек твердого тела. Угловое ускорение тела.

Продифференцируем по времени формулу для поля скоростей:

Здесь вектор  называется угловым ускорением твердого тела. Итак,

Эта формула задает п оле ускорений в теле, то есть каждому вектору  сопоставляется вектор ускорения точки .

В случаях плоского и вращательного движений ускорение любой точки тела вычисляется по формуле:

где вектор  перпендикулярен векторам  и .