Скорость и ускорение точки тела в криволинейных координатах

Определение. Движение точки в криволинейных координатах записывается следующим образом:

Скорость и ускорение точки в базисе криволинейных координат:

 

 

Компоненты   

называются контравариантными компонентами векторов скорости и ускорения соответственно.

Компоненты  называются физическими компонентами векторов скорости и ускорения.

В последних формулах применяется следующее правило (Эйнштейна): если в одной части уравнения, (формулы), индекс свободный, то есть по нему нет суммирования, то по нему нет суммирования и в другой части уравнения.

Физические компоненты векторов скорости  и ускорения   в ортонормированном базисе  имеют обычную физическую размерность.

Цилиндрическая ортогональная система координат,

Прямое отображение : 

Обратное отображение :

Коэффициенты Ламе:

Базис  в разложении по декартовому базису имеет вид:

Очевидно, что эти векторы взаимно ортогональны.

Кобазис  разлагается по декартову базису так:

 

Ненулевые символы Кристоффеля:     

Физические компоненты векторов скорости и ускорения имеют вид: 

Полярная система координат.

Если в цилиндрических координатах положить z = 0, то система координат называется полярной системой координат. Она описывает движение точки в одной плоскости. Для нее физические компоненты скорости и ускорения имеют вид :

.

Сферическая ортогональная система координат

Прямое отображение  

Обратное отображение :  

Коэффициенты Ламе:

Векторы базиса и кобазиса связаны следующим образом:

Символы Кристоффеля имеют следующие значения:

Связь контравариантных и физических компонент скорости и ускорения имеет вид:

 

Вычислим третью физическую компоненту вектора ускорения:

Окончательно, физические компоненты векторов скорости и ускорения в сферических координатах вычисляются по следующим формулам: