2020-05-12
105
1. 
для комплексных процессов 
2. Для любых t 1,…, tn из T и любых z 1,…, zn из С
Такие функции называются неотрицательно определенными ядрами.
Действительно, 
3. Теорема. Если a (t) – произвольная, а K (s, t) удовлетворяет на 
условиям 1,2, то существует гауссов случайный процесс ξ(t), для которого
M ξ(t) = a (t), K ξ(s, t) = K (s, t).
4. 
.
Это следует из очевидного неравенства a 2+ b 2 
2 ab.
5. 
Это следует из неравенства Коши-Буняковского 
6. Если K (s, t) непрерывна на диагонали, т.е. K (s, s) непрерывна, то она непрерывна во всех точках 
.
Действительно,
.
Аналогично доказывается, что если K (s, t) дифференцируема на диагонали, т.е. K (s, s) дифференцируема, то она дифференцируема во всех точках 
.
7. K ξη(s, t) непрерывна тогда и только тогда, когда непрерывна K ξη(s, s);
8. K ξη(s, t) дифференцируема тогда и только тогда, когда дифференцируема K ξη(s, s).
Вероятностный смысл корреляционной функции
Пусть X, Y - случайные величины, имеющие совместную плотность распределения f (x, y) такую, что Х и Y имеют конечные дисперсии (а, значит, и математические ожидания):
Тогда для этих величин определена ковариация K (X,Y) и коэффициент корреляции r(X, Y), -1 £ r(X, Y) £ 1:
(5.1)
Очевидно, K (X, X) = s2X. Если K (X, Y) = 0, величины X и Y называют некоррелированными. Если X - наблюдаемая, а Y - ненаблюдаемая компоненты случайного вектора, то оптимальный линейный прогноз 
по наблюдаемому значению X получается из уравнения регрессии Y на Х:
(5.2)
дисперсия прогноза
Если имеется двумерная случайная выборка
то в качестве простейшей выборочной оценки ковариации используют статистику
корреляционная (автокорреляционная) функция случайного процесса X (t)
K (t,s) = M {[ X (t) - a (t)][ X (s) - a (s) ]}, a (t) = MX (t) -
это ковариация между значениями процесса в точках t и s. Оптимальный среднеквадратический линейный прогноз 
значения X (t) по известному X (s) дается в этом случае формулой (5.2):
Аналогичный результат для двух процессов дает взаимная корреляционная функция.
