Корреляционный анализ случайных процессов

 5.1. Описание и классификация случайных процессов

   Опр. Случайный процесс ξ – это функция двух аргументов ξ = ξ(t,ω): . В качестве аргумента t чаще всего выступает время, тогда T = [0, ). Процессы с многомерным Т называются случайными полями. Часто приходится рассматривать комплексные процессы ξ(t,ω):  и векторные процессы ξ(t,ω): . 

  Случайная величина ξ(t ₀,ω) называется сечением процесса в момент t ₀. 

  Функция времени ξ(t ₀,ω₀) называется траекторией или выборочной функцией процесса.

  Случайный процесс задается семейством своих конечномерных распределений

где t ₁,…, t_k , A ₁,…, A_k - борелевские множества из области значений процесса.

  Конечномерные распределения должны обладать следующими свойствами:

1. При любых фиксированных t ₁,…, t_k  семейство функций является совместным распределением k –мерного случайного вектора.

2.  для любой перестановки i ₁,…, i_k.

3. Если X – область значений процесса, то

Опр. Случайный процесс называется нормальным или гауссовым, если все его конечномерные распределения являются нормальными.

Математическое ожидание и корреляционная функция

Опр.  Математическое ожидание:

                Корреляционная функция:

               Дисперсия:

         Для комплексных процессов

  Опр. Случайный процесс называется нормальным или гауссовым, если все его конечномерные распределения являются нормальными.

   Теорема. Гауссов процесс полностью определяется своими математическим ожиданием и корреляционной функцией.

      Действительно, пусть процесс ξ(t) – гауссов, для него заданы его a (t) и K (s, t). Рассмотрим последовательность моментов времени t ₁< t ₂<…< t_n и соответствующий случайный вектор   Он заведомо является гауссовым,

:

Для двух процессов рассматривается еще их взаимная корреляционная функция