2020-05-12
81
Рассмотрим стационарный случайный процесс x (t), -∞< t <∞ у которого удалено математическое ожидание, так что M x (t)=0. В силу стационарности для автокорреляционной функции и дисперсии выполняются соотношения
Дополнительно предположим, что K (τ) интегрируема на всей числовой оси: 
Теорема. Такому процессу x (t) можно единственным образом сопоставить процесс с ортогональными приращениями Ф x (u) такой, что
-
(6.1) -
Функция S (u) называется спектральной плотностью процесса x (t).
Замечание. На представлении (6.1) основано доказательство всех основных теорем о стационарных случайных процессах. При этом основное соотношение, которое необходимо помнить при вычислениях с дельта-функцией δ(u-v), имеет вид:
(6.2)
Теорема Винера-Хинчина (ее называют также теоремой Герглотца).
Т. обр., корреляционная функция стационарного процесса является обратным преобразованием Фурье его спектральной плотности.
Доказательство.
Следствие. 
Другими словами, спектральная плотность стационарного процесса является преобразованием Фурье его автокорреляционной функции.
