2020-05-12
97
1. S (u) вещественна, даже если сам процесс x (t) – комплексный.
Действительно,
Но, согласно свойствам АКФ любого комплексного процесса, эти величины тождественно равны, поэтому 
т.е. S (u) вещественна.
2. Если процесс x (t) – вещественный, то S (u) симметрична: S (u)= S (- u).
Это свойство очевидно, т.к. для вещественного процесса 
3. 
4. 
Это свойство указывает на возможность оценивания S (u) по одной реализации процесса x (t). Кроме того, отсюда еще раз следует, что спектральная плотность S (u) вещественна и, к тому же, положительна, S (u)≥0.
Доказательство.
.
Сделаем во втором интеграле замену переменной τ= s-t, d τ = ds, а интеграл по s будем вычислять не по всей оси, а как предел интегралов на [- T /2, T /2]:
Пример. Белый шум ε(t) имеет автокорреляционную функцию K (s, t) = σ2 δ(s-t), поэтому его спектральная плотность
Белый шум не имеет дисперсии в том смысле, что K (0) не существует, интеграл 
расходится. Множитель σ2 называют интенсивностью белого шума. В то же время, белый шум с дискретным временем – это просто последовательность независимых случайных величин с нулевым средним и дисперсией σ2. Тем не менее, существует соглашение, по которому в применении к белому шуму термин «дисперсия» не употребляют, всегда говорят только об интенсивности.
