Эргодическая теорема для процессов в линейных системах

   Рассмотрим прохождение белого шума ε(t) со средним α и интенсивностью σ² через однородную линейную систему с весовой функцией w (τ):

                                                   (6.8)

Для обеспечения сходимости интегралов наложим на весовую функцию два условия:

Тогда для любого начального момента t ₀ и любого

Рассмотрим два процесса:

Первый из этих процессов отвечает предположению, что белый шум начали подавать на вход системы в момент t =0, второй – что начало работы системы относится к бесконечно удаленному прошлому. Изучим связь между этими двумя процессами в момент времени t и при t, стремящемся к бесконечности.

  Утв.1.  при

Действительно,

  Утв.2.   при

Действительно,

Теперь выясним, как устроен процесс x ₀(t):

Т. обр., x (t) - процесс, стационарный в широком смысле. Это значит, что после некоторого переходного периода на выходе системы (7) устанавливается стационарный процесс. Область науки, ориентированная на исследование установившихся режимов в динамических системах, называется эргодической теорией.

     В спектральной области вместо частоты u, выраженной в радианах, обычно используют частоту f, выраженную в герцах, f = 2π u. При этом, согласно теореме Винера-Хинчина, спектральная плотность S (f) связана с автоковариационной функцией формулами

Контрольные вопросы

1. Спектральная плотность стационарного процесса
2. Теорема Винера-Хинчина
3. Свойства СПМ
4. Стационарные процессы в линейных системах
5. Весовая функция
6. Оценивание весовой функции
7. Передаточная функция
8. АФЧХ линейной системы
9. Основная теорема теории линейных систем
10. Взаимная СПМ
11. Эргодическая теорема

Задания на лабораторную работу № 6

1. Сформировать линейную систему с экспоненциально-убывающей весовой функцией

2. Сформировать выборку из стационарного процесса Юла и подать ее на вход системы

3. Получить процесс на выходе системы.

4. Оценить взаимную корреляционную функцию входа и выхода

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ