Тема 4. Вычисление вероятностей по формуле Бернулли и формулам Лапласа

Формула Бернулли:

Локальная теорема Муавра — Лапласа. Если в схеме Бернулли число n велико, а число p отлично от 0 и 1, тогда:

Функция φ(x) называется функцией Гаусса. Ее значения давно вычислены и занесены в таблицу, которой можно пользоватьс.

Интегральная теорема Лапласа

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

- функция Лапласа.

где

Пример решения задач

Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.

По условию n=400, p=0.75, q=0.25, k=280, откуда

По таблицам найдем  .

Искомая вероятность равна:

Задачи

1. Из 200 аккумуляторов за год хранения 65 выходит из строя. Наудачу выбирают 5 аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них 3 исправных.

2. Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут:
а) три элемента;
б) не менее четырех элементов;
в) хотя бы один элемент.

3. Сколько следует сыграть партий в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?

4. С базы в магазин отправлено 4000 тщательно упакованных доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна 0.0005. Найти вероятность того, что из 4000 изделий в магазин прибудут 3 испорченных изделия.

5. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: а) не более одного потребует ремонта; б) хотя бы один не потребует ремонта.

6. Что более вероятно выиграть у равносильного противника: не менее двух партий из трёх или не более одной из двух?

7. Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что:

а) герб выпадет три раза;

б) герб выпадет один раз;

в) герб выпадет не менее двух раз.

8. Вероятность того, что приставка Playstation 4 имеет скрытые дефекты, равна 0,2. На склад поступило 20 игровых приставок. Какое событие вероятнее: что в этой партии имеется две приставки со скрытыми дефектами или три?

9. Игральную кость бросают 6 раз. Найти вероятность того, что 5 очков:

а) не выпадут (выпадут 0 раз);
б) выпадут 2 раза;
в) выпадут 5 раз.

10. Вероятность того, что при броске мяча баскетболист попадёт в корзину, равна 0,3. Найти наивероятнейшее число попаданий при 8 бросках и соответствующую вероятность.

11. Вероятность рождения мальчика равна 0,512. Найдите вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 51 мальчик.

12. Телефонная станция обслуживает 200 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение одного часа он позвонит на станцию, равна 0,02. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят ровно 5 абонентов.

13. Магазин получил 1000 бутылок водки. Вероятность того, что при перевозке бутылка разобьется, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит ровно две разбитых бутылки.

14. Монета подбрасывается 400 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет ровно:

а) 200 раз;
б) 225 раз.

15.  В здании 1000 лампочек. Вероятность выхода из строя одной лампочки в течение года p =0.003. Найдем вероятность того, что в течение одного года выйдет из строя более трех ламп.

16. Найти вероятность того, что если бросить монету 200 раз, то орел выпадет от 90 до 110 раз.

17. Вероятность поражения стрелком мишени равна 0,7. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена от 65 до 80 раз.

18. В здании имеется 2500 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что вечером будет включено не менее 1250 и не более 1275 ламп.

19. В институте обучается 1000 студентов. В столовой имеется 105 посадочных мест. Каждый студент отправляется в столовую на большой перемене с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что в обычный учебный день:

а) столовая будет заполнена не более чем на две трети;
б) посадочных мест на всех не хватит.

20. В обычный учебный день вероятность присутствия студента на лекции равна 0,8. Найти вероятность того, что из 100 студентов на лекции будут присутствовать:

а) 85-90%;
б) половина студентов;
в) не менее 72 студентов.