Тема 6: Функция распределения и плотность распределения НСВ. Вычисление характеристик НСВ

Плотностью распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, т.е.:

f(x)=F’(x)

Математическое ожидание М (Х) непрерывной случайной величины Х определяются равенством:

_+∞

M(X)= ∫ x•f(x)dx,

^-∞

при условии, что этот интеграл сходится абсолютно.

Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:

_+∞

D(X)= ∫ (х-М(х)²)•f(x)dx, или

^-∞

_+∞

D(X)= ∫ х²•f(x)dx- (М(х))²

^-∞

Среднее квадратическое отклонение σ(Х) непрерывной случайной величины определяется равенством:

Пример решения задач

Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

0 при х≤2,

f(x)= с(х-2) при 2<х≤6,

0 при х>6.

Найти: а) значение с; б) функцию распределенияF(х) и построить ее график; в)Р(3≤х<5)

_{+∞ 2 6}+∞ 6 ₆

∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(х-2)dx +∫ 0dx= c∫ (х-2)dx=с(х²/2-2х) =с(36/2-12-(4/2-4))=8с;

^{-∞ -∞ 2 6 2 2}

8с=1;

с=1/8. _х

б) Известно, что F(x)= ∫ f(x)dx

^-∞

Поэтому,_х

если х≤2, то F(x)= ∫ 0dx=0;

^-∞_{2 2 х}

если 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х²/2-2х) = 1/8(х²/2-2х- (4/2-4))=

^{-∞ -∞ 2}

=1/8(х²/2-2х+2)=1/16(х-2)²;

_{2 6 х 6 6}

если х>6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(х-2)dx=1/8(х²/2-2х) =

^{-∞ 6 2 2 2}

=1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8•8=1.

Таким образом,

0 при х≤2,

F(х)= (х-2)²/16 при 2<х≤6,

1 при х>6.

График функции F(х) изображен на рис.

в) Р(3≤Х<5)=F(5)-F(3)=(5-2)²/16-(3-2)²/16=9/16-1/16=5/16.

Задачи

1. Случайная величина Х задана функцией распределения

Чему равна вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (0,2; 0,7)

2. Случайная величина Х задана функцией распределения

Чему равна вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (3,3; 4,6)

3. Случайная величина Х задана функцией распределения

Чему равна вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (2,3; 4,6)

4. Случайная величина Х задана функцией распределения

Чему равна вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (2,3; 2,9)

5. Случайная величина X задана функцией распределения

Найдите коэффициент с.

6. Случайная величина X задана функцией распределения

Найдите коэффициент с.

7. Случайная величина Х задана функцией распределения :

Найдите плотность вероятности .

8. Случайная величина Х задана функцией распределения :

Найдите плотность вероятности .

9. Случайная величина Х задана функцией распределения :

Найдите плотность вероятности .

10. Случайная величина Х задана функцией распределения :

Найдите плотность вероятности .

11. Случайная величина на отрезке [1,2] задана плотностью распределения , вне этого отрезка Найдите математическое ожидание данной случайной величины.

12. Случайная величина на отрезке [0,2] задана плотностью распределения , вне этого отрезка Найдите математическое ожидание данной случайной величины.

13. Случайная величина на отрезке [1,2] задана плотностью распределения вне этого отрезка Найдите математическое ожидание данной случайной величины.

14. Случайная величина на отрезке [0, 2] задана плотностью распределения , вне этого отрезка Математическое ожидание . Найдите дисперсию данной случайной величины.

15. Случайная величина на отрезке [1, 2] задана плотностью распределения , вне этого отрезка Математическое ожидание . Найдите дисперсию данной случайной величины.

16. Случайная величина на отрезке [0, 1] задана плотностью распределения , вне этого отрезка Математическое ожидание . Найдите дисперсию данной случайной величины.