Тема 7: Виды распределений ДСВ и НСВ

Для биномиального распределения:

· математическое ожидание M(X) = np,

· дисперсия D(X) = npq,

· среднее квадратическое отклонение σ(Х) = √D(X)

Геометрическое распределение

Производится серия испытаний. Случайная величина - количество испытаний до появления первого успеха (например, бросание мяча в корзину до первого попадания). Закон распределения имеет вид:

Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т.е.

               0      при х≤а,

f(х)=           при a<х<b,

                0     при х≥b.

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметромλ>0, если функция плотности распределения вероятностей имеет вид:

            0 при х<0,

f(х)= λе^-λх  при х≥0.

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному закону, задается формулой:

            0    при х≤3,

F(х)= 1-e^-λх  при х≥0.         

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны:

 

M(X)=  , D(X)= , σ (Х)=

Пример решения задач

Построить ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при трех бросках, если вероятность попадания при одном броске равна 0,6. Найти среднее число попаданий и дисперсию.
Случайная величина Х – число попаданий в корзину при трёх бросках. Соответствующие вероятности найдём по формуле Бернулли.

Искомый закон распределения:

Контроль: 0,064 + 0,288 + 0,432 + 0,216 = 1

Задачи

1. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-1;2). Найдите:

а) плотность распределения f(x);

б)функции распределения F(x);

в)числовые характеристики;

г)вероятность Р(4<х<6).

2. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (2;8). Найдите:

а) плотность распределения f(x);

б)функции распределения F(x);

в)числовые характеристики;

г)вероятность Р(3<х<9).

3. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

     

а) Назовите закон распределения рассматриваемой случайной величины.

б) Найдите функцию распределения F(X) и числовые характеристики случайной величины Х.

в) Найдите основные характеристики

4. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

     

а) Назовите закон распределения рассматриваемой случайной величины.

б) Найдите функцию распределения F(X) и числовые характеристики случайной величины Х.

в) Найдите основные характеристики

5. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 10 и 4. Найдите:

а) плотность распределения ;

б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (8;14).

6. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 4 и 2. Найдите:

а) плотность распределения ;

б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (3;5).

7. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и D(X)=1. Какое из событий: |Х|≤0,6 или |Х|≥0,6 имеет большую вероятность?

8. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=0 и D(X)=1.Из какого интервала (-0,5;-0,1) или (1;2) при одном испытании она примет значение с большей вероятностью?

9. Случайная величина Х распределена нормально с M(X)=12,6. Вероятность попадания случайной величины в интервал (11,4;13,8) равна 0,6826. Найдите среднее квадратическое отклонение σ.

10. 30% изделий, выпускаемых данным предприятием, нуждается в дополнительной регулировке. Наудачу отобрано 200 изделий. Найти среднее значение и дисперсию случайной величины X – числа изделий в выборке, нуждающихся в регулировке.

11. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,01. Какова вероятность того, что число попаданий при 200 выстрелах составит не менее 5 и не более 10?

12. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты? Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания поезда.

13. Пусть X – случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием  и средним квадратическим отклонением . Какова вероятность того, что при четырех испытаниях эта случайная величина попадет хотя бы один раз в интервал (1,2)?

14. Все значения равномерно распределенной случайной величины лежат на отрезке [2,8]. Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток (3,5).

15. Монета брошена 6 раз. Найдите дисперсию ДСВ -числа появления «решки» при десяти бросаниях монеты.

16. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель . Найдите вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

17. Составим ряд распределения случайной величины X – числа попаданий при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

18. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать биномиальный законраспределения дискретной случайной величины X — числа нестандартных деталей среди четырех отобранных.Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

19. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X— числа появлении «герба» при двух бросаниях монеты.

20. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 отобранных деталей окажется:

а) 5 бракованных;

б) хотя бы одна бракованная.