Тема 5. Закон распределения ДСВ. Вычисление характеристик ДСВ

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

М(Х) = ∑ x_iр_i=x₁р₁ + x₂р₂+…+ x_nр_n

ⁱ⁼¹

Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X)=M(X-M(X))²

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

Пример решения задач

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

х	-1	0	1	2	3
р	0,1	Р2	0,3	0,2	0,3

Найти Р₂, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то

Р₂=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Найдем числовые характеристики случайной величины:

M(X)=-1•0,1+0•0,1+1•0,3+2•0,2+3•0,3=1,5

D(X)=(-1)² •0,1+1²•3+2²•0,2+3²•0,3-(1,5)²=1,65

 

Задачи

1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид:

Х	1	3	5
Р	0,3	0,5

Чему равна вероятность ?

2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид:

Х	-3	-1	0	3
Р		0,3	0,4	0,1

Чему равна вероятность ?

3. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид:

Х	1	2	3	4	5
Р	0,2	0,3	0,1	0,2

Чему равна вероятность ?

4. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид:

Х	0	1	2	3	4
Р	0,2	0,3	0,1	0,2

Найдите , M(X),D(X) и σ(Х).

5. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид:

Х	7	8	9	10	11
Р	0,4		0,1	0,2	0,1

Найдите , M(X),D(X) и σ(Х).

6. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид:

Х	-3	-1	1	2	4
Р		0,3	0,1	0,2

Найдите , M(X),D(X) и σ(Х).

7. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид:

Х	5	6	7	9	11
Р	0,2	0,3		0,2

Найдите , M(X),D(X) и σ(Х).

8. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид:

Х	-1	0	2	3	5
Р	0,1		0,2	0,3

Найдите , M(X),D(X) и σ(Х).

9. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид:

Х	-5	-4	-3	-2	-1
Р	0,2	0,3	0,1	0,2

Найдите , M(X),D(X) и σ(Х).

10. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	-5	-4	-3	-2	-1
Р	0,2	0,3	0,1	0,2	0,2

Найдите функцию распределения F(x) и постройте её график.

11. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	1	2	4	5	6
Р	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Найдите функцию распределения F(x) и постройте её график.

12. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	-1	0	1	2	3
Р	0,2	0,3	0,1	0,1	0,3

Найдите функцию распределения F(x) и постройте её график.

13. Производится 5 независимых испытаний, в каждом из которых с одной и той же вероятностью 0,2 может наступить событие . Найдите математическое ожидание ДСВ -число наступления события .

14. Производится 5 независимых испытаний, в каждом из которых с одной и той же вероятностью 0,2 может наступить событие . Найдите дисперсию  ДСВ -число наступления события .

15. В партии 20% нестандартных деталей. Наудачу отобрано пять деталей. Найдите математическое ожидание ДСВ - числа нестандартных деталей среди пяти отобранных.

16. В партии 35% нестандартных деталей. Наудачу отобрано пять деталей. Найдите дисперсию ДСВ - числа нестандартных деталей среди пяти отобранных.

17. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 5 учебников, причем 3 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 4 учебника. Случайная величина Х-число учебников в переплете среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.

18. В билете две задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,8, второй-0,5. Случайная величина Х - число правильно решенных задач в билете. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

19. В коробке 7 фломастеров, из которых 3 фломастера уже не пишут. Наудачу берут 3 фломастера. Случайная величина Х- число пишущих фломастеров среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.

20. Проводятся три независимых испытания, в каждом из которых вероятность наступления некоторого события постоянна и равна p. Пусть X – число появлений события A в этом опыте. Найти D(X), если известно, что

M(X) = 2,1.