Если возникнут трудности, смотрите примеры

Тема: Решение показательных неравенств.

Задание: Разобрать примеры решения простейших показательных неравенств, записать примеры в тетрадь, решить неравенства из блока «Решить самостоятельно»

Показательными неравенствами называют неравенства вида a^f(x)>a^{g(x) ,}

где a — положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции:

- для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента;

- для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

 

Показательная функция y=ax возрастает при a>1

 

и убывает при 0<a<1.

 

 

 

Показательное неравенство a^f(x)>a^g(x) равносильно неравенству того же смысла f(x)>g(x), если a>1.

Пример:

решить неравенства: 2^2x−4>64.

Имеем 2^2x−4>2⁶.

Это неравенство равносильно неравенству того же смысла 2x−4>6, т. к. основание равно 2>1 ( a>1 ),

откуда находим x>5.

Показательное неравенство a^f(x)>a^g(x) равносильно неравенству противоположного смысла f(x)<g(x), если 0<a<1.

Примеры решения простейших показательных неравенств

Пример 1. Решите неравенство:

1)

Решение:

Т.к. y=6^t – возрастающая, т.к. 6>0, перейдем к равносильному неравенству:

x²+2x>3

x²+2x-3>0

Ответ:

Пример 2. Решить неравенство:

2)

Решение:

	2 + 4х ≤1 – 8х 12х ≤ - 1 х ≤ -1/12

 

 

Ответ: х ≤ -1/12

 

Пример 3. Решите неравенство:

,

Решение:

,

,

,

, (знак неравенства поменяли на противоположный)

 (знак неравенства меняем, если делим или умножаем обе части неравенства на отрицательное число)

.

Ответ:

Решить самостоятельно (начинайте с № 40.30 и далее по порядку)

Если возникнут трудности, смотрите примеры

Пример №1. Решить неравенство:

Правило: привести к одинаковому основанию.

Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется

Ответ:

Пример №2. Решить неравенство:

Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется

Ответ:

Пример №3. Решить неравенство:

Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется

Ответ:

 

Пример №4. Решить неравенство:

Вспоминаем свойства показательной функции: , значит, Данное неравенство не имеет решений.

 

Пример №5. Решить неравенство:

По аналогии с предыдущим неравенством: (а, значит, ) для всех из области определения, то есть .