Использование гироскопа

Постоянно растущие требования к точностным и эксплуатационным характеристикам гиро-приборов заставили ученых и инженеров многих стран мира не только усовершенствовать классические гироскопы с вращающимся ротором, но и искать принципиально новые идеи, позволившие решить проблему создания чувствительных датчиков для измерения и отображения параметров углового движения объекта.

В настоящее время известно более ста различных явлений и физических принципов, которые позволяют решать гироскопические задачи. В России и США выданы тысячи патентов и авторских свидетельств на соответствующие открытия и изобретения.

Поскольку прецизионные гироскопы используются в системах наведения стратегических ракет большой дальности, во время холодной войны информация об исследованиях, проводимых в этой области, классифицировалась как секретная. Сокращение средств, выделяемых для военно-промышленного комплекса в бюджетах ведущих мировых стран, резко повысило интерес к гражданским применениям гироскопической техники. Например, сегодня широко распространено использование микромеханических гироскопов в системах стабилизации автомобилей или видеокамер.

По мнению сторонников таких методов навигации, как GPS и ГЛОНАСС, выдающийся прогресс в области высокоточной спутниковой навигации сделал ненужными автономные средства навигации (в пределах зоны покрытия спутниковой навигационной системы (СНС), то есть в пределах планеты). В настоящее время СНС системы по параметрам массы, габаритов и стоимости превосходят гироскопические.

Сейчас разрабатывается система навигационных спутников третьего поколения. Она позволит определять координаты объектов на поверхности Земли с точностью до единиц сантиметров в дифференциальном режиме, при нахождении в зоне покрытия корректирующего сигнала DGPS. При этом отпадает необходимость в использовании курсовых гироскопов. Например, установка на крыльях самолета двух приёмников спутниковых сигналов, позволяет получить информацию о повороте самолёта вокруг вертикальной оси.

Однако системы СНС оказываются неспособны точно определять положение в городских условиях, при плохой видимости спутников. Подобные проблемы обнаруживаются и в лесистой местности. Кроме того прохождение сигналов СНС зависит от процессов в атмосфере, препятствий и переотражений сигналов. Автономные же гироскопические приборы работают в любом месте – под землёй, под водой, в космосе.

В самолётах СНС оказывается точнее ИНС на длинных участках. Но использование двух СНС-приёмников для измерения углов наклона самолета даёт погрешности до нескольких градусов. Подсчёт курса путём определения скорости самолёта с помощью СНС также не является достаточно точным. Поэтому, в сегодняшних навигационных системах оптимальным решением является комбинация спутниковых и гироскопических систем, называемая интегрированной (комплексированной) ИНС/СНС системой.

За последние десятилетия, эволюционное развитие гироскопической техники подступило к порогу качественных изменений. Открылись совершенно новые интересные задачи: разведка полезных ископаемых, предсказание землетрясений, сверхточное измерение положений железнодорожных путей и нефтепроводов, медицинская техника и многие другие.

Значительное удешевление производства МЭМС-гироскопов привело к тому, что они начинают использоваться в смартфонах и игровых приставках.

Появление МЭМС-гироскопа в новом смартфоне Apple Phone 4 открывает новые возможности в 3D-играх и в формировании дополненной реальности.

Так же гироскоп стал применяться в управляющих игровых контроллерах, таких как: Sixaxis для Sony PlayStation 3 и Wii MotionPlus для Nintendo Wii. В обоих перечисленных контроллерах использованы два дополняющих друг друга, пространственных сенсора: акселерометр и гироскоп. Впервые игровой контроллер, умеющий определять своё положение в пространстве, был выпущен компанией Nintendo – Wii Remote для игровой приставки Wii, но в нем используется только трёхмерный акселерометр. Трёхмерный акселерометр не способен давать точное измерение параметров вращения при высокодинамичных движениях. И именно поэтому в новейших игровых контроллерах: Sixaxis и Wii MotionPlus, кроме акселерометра, был использован дополнительный пространственный сенсор – гироскоп.

Самыми простыми примерами игрушек, сделанных на основе гироскопа, являются йо-йо, волчок (юла) и модели вертолетов. Волчки отличаются от гироскопов тем, что не имеют ни одной неподвижной точки.

Кроме того, существует спортивный гироскопический тренажёр.

Перспективным является направление развития квантовых гироскопов.

 

16 Примеры решения задач

Динамика твердого тела используется в решении задач для тел, движущихся в сплошной среде.В задаче о полете тела с тремя несущими поверхностями при наличии динамической асимметрии определены условия, при которых проявляются синхронизмы 1:3. С увеличением угловой скорости вращения тела около продольной оси даже на поверхности рассеивания заметно ослабление этого эффекта.Разработана программа имитационного моделирования комплекса задач по динамике полета противоградовых ракет. С ее помощью построены таблицы введения поправок на установочные углы запуска ракет для наилучшей компенсации вредного влияния ветра.Создана механико-математическая модель полета бумеранга.На основе численного решения задачи о плоских движениях аэродинамического маятника (с несущей поверхностью в виде прямоугольной пластины) в несжимаемой жидкости с учетом динамики вихрей определены области существования всех типов движения маятника, включая режимы автоколебаний и авторотации.Компьютерные исследования в динамике твердого тела относятся к отдельной области науки – компьютерной динамике, которая устанавливает общие закономерности движения систем при помощи различных численных методов и алгоритмов.В сочетании с аналитическими методами, достижениями топологии, анализа, теории устойчивости и других методов компьютерная динамика применяется, главным образом, в исследовании интегрируемых задач, в частности, динамических проблем теории волчков. Такой подход позволяет получить достаточно полное представление о движении, разобраться во всем его многообразии и наглядно представить себе каждое конкретное движение и его особенности.Кроме того, проводятся исследования с использованием методов пуассоновой динамики и геометрии, теории групп и алгебр Ли-методов, которые во многом возникли из задач динамики твердого тела.

 

Задача 1. Два груза массами m₁ = 2 кг и m₂ = 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок, массой М = 1 кг. Найти: ускорение a, с которым движутся гири, и натяжения Т₁ и Т₂ нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь. Задачу решить для двух случаев: 1) блок не вращается, 2) блок вращается.

Решение

Решим задачу параллельно для обоих случаев, чтобы провести аналогию между решением задач на динамику поступательного движения материальной точки (или центра масс тела) и вращательного движения твердого тела.

Как бы Вы интерпретировали метод аналогий, выбранный для объяснения решений этой задачи?

 

Блок не вращается	Блок вращается
Для всех тел, участвующих в движении, записываем II закон Ньютона в векторном виде:
Запишем эти системы уравнений в проекциях на ось OХ:
Блок не вращается потому, что натяжение нити по обе стороны от блока одинаково.	Так как причиной вращения блока является момент разности натяжения нити по обе стороны от блока, то к системе уравнений необходимо добавить ещё одно: .
Решая полученную систему уравнений, получим:	Решая полученную систему уравнений, получим: .

 

Сравнивая полученные формулы (2.5), (2.6) и (2.7) с формулами (1.4) и (1.5), следует отметить, что ускорение грузов при вращении блока меньше, чем без вращения, и уменьшается с увеличением массы блока. Момент инерции вращающихся тел можно назвать количественной мерой инертности тел при вращательном движении. Силы натяжения нитей при вращательном движении блока меньше, чем при неподвижном блоке, и обратно пропорциональны массе блока. Если блок не вращается, то силы натяжения по обе стороны от блока одинаковы, а если блок вращается, тогда причиной вращения блока будет возникающий момент разности натяжения нити по обе стороны от блока.

 

Задача 2. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена постоянная касательная сила F = 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения M = 4,9 Н·м. Найти массу m диска, если известно, что он вращается с постоянным угловым ускорением ε = 10 рад/с².

Решение

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения для тел с закрепленной осью вращения: результирующий момент сил, действующих на тело, равен произведению момента инерции тела на сообщаемое этим моментом угловое ускорение:

,

где М – результирующий момент сил, действующих на тело:   J – момент инерции диска:  Следовательно:

 

Задача 3. Горизонтальная платформа массой М = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая n₁ = 10 об/мин. Человек массой m = 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой скоростью ω₂ начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Определить работу A по изменению угловой скорости платформы. Считать платформу круглым однородным диском с радиусом R₁ м, а человека – точечной массой.

Решение

Согласно закону сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел не изменяется при любых взаимодействиях между телами данной системы:

Это уравнение является векторным. Поэтому для решения задачи выбирают вертикальную ось OZ, относительно которой записывают результирующий момент импульса тел системы до и после взаимодействия в проекциях на эту ось:

где – момент инерции человека, стоящего на краю платформы (как для материальной точки),  – момент инерции человека, стоящего в центе платформы (r = о),  – момент инерции платформы (как для диска),  – угловая скорость платформы до перехода человека в центр платформы, ω₂ – угловая скорость платформы после перехода человека в центр платформы. Тогда

Работа по изменению угловой скорости платформы равна изменению ее кинетической энергии: .

Тогда:

.

 

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Рассмотрите историю создания динамики вращательного движения твердого тела и составьте свою схему взаимосвязи ее разделов с другими научными и техническими дисциплинами.

2. Обоснуйте использование в научных исследованиях метода аналогий. Какие аналогии в описании явлений и законов природы Вы знаете?

3. Какая физическая величина называется моментом силы? Назовите единицы измерения момента силы в Системе интернациональной измерения физических величин.

4. Какая физическая величина называется моментом импульса? Назовите единицы измерения момента импульса в Системе интернациональной измерения физических величин. Где мы встречаемся с применением или проявлением момента силы и момента импульса на практике?

5. Сформулируйте правило правого винта для определения направления векторов момента силы и момента импульса.

6. Выведите основное уравнение динамики вращательного движения. При каких условиях это уравнение выполняется?

7. Выведите закон сохранения момента импульса. При каких условиях этот закон выполняется? Где мы встречаемся с применением или проявлением закона сохранения момента импульса на практике?

8. Какая физическая модель называется «абсолютно твердым телом»? А как бы Вы дали определение этой физической модели?

9. Чему равен момент импульса вращающегося твердого тела с закрепленной осью вращения? Дайте определение момента инерции твердого тела. Объясните необходимость расчета момента инерции твердых тел в механических и электромеханических устройствах. Выведите самостоятельно формулы для определения момента инерции стержня, шара, кольца, обруча по аналогии с выводом момента инерции диска.

10. Выведите основное уравнение динамики вращательного движения тела с закрепленной осью вращения. проведите аналогию этого уравнения со ІІ законом Ньютона. В чем заключаются их сходство и различия?

11. Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера. Самостоятельно составьте и решите задачу на применение в ее решении теоремы Гюйгенса-Штейнера.

12. Чему равна кинетическая энергия вращательного движения? Плоского движения? Вращательно-поступательного движения?

13. Как определяется работа при вращательном движении?

14. Проведите аналогию между законами, описывающими поступательное и вращательное движение.Сделайте вывод об универсальности и симметричности этих законов.

15. Какие механические устройства называются гироскопами?

16. Рассмотрите историю создания гироскопа. Какое свойство гироскопа привлекло внимание инженеров для его использования при ориентации на земле, на воде и под водой, в воздухе?

17. Где используются гироскопические приборы? Будете ли Вы в своей будущей работе их применять? Где и когда именно? Что из теории гироскопов Вам надо знать для будущей профессиональной деятельности?

 

Рекомендованная литература

1. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. – М.: Главная ред. физ.-мат. литературы, 1987. – (Задачи №№ 3.1-3.44).

2. Кудрявцев П.С. Курс истории физики: Учебное пособие для студентов пед. ин-тов по физ. спец. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Просвещение, 1982. – 448 с. – С. 30-35; 60-67; 90-113; 25-135; 157-160.

3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1990. – 478 с. – С. 31-38.

СТАТИКА. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ

 

План

1. Предмет статики.

2. Центр тяжести тела.

3. Условия равновесия.

4. Теория рычага Архимеда.

5. Примеры решения задач.

 

 

1 Предмет статики

 

Из истории науки. Ранее всех разделов механики зародилась статика. Основное понятие статики – понятие силы – вначале тесно связывалось с мускульным усилием, вызванным давлением предмета на руку. Примерно к началу IV в. до н.э. уже были известны простейшие законы сложения и уравновешивания сил, приложенных к одной точке вдоль одной и той же прямой.

Статика развивалась в тесной связи со строительным искусством античного мира. Потребности в создании различного рода технических устройств (строительных, военных и т.д.) выдвигали на первый план вопросы статики. Архимед (287-212 гг. до н.э.) – самый знаменитый из всех ученых древности, создав теорию рычага, заложил основы статики.

В работах голландского ученого С. Стевина (1548-1620) получила свое завершение статика древних. Он сформулировал теорему о треугольнике сил, открыл законы сложения сил и разложения силы на две взаимно перпендикулярные составляющие, дал оригинальное доказательство условия равновесия тела на наклонной плоскости, основанное на невозможности вечного двигателя.

Статика (от греч. – неподвижный) – раздел механики, в котором изучаются условия равновесия тел и механических систем под действием приложенных к ним сил и моментов.

 

2 Центр тяжести тела

 

Первым открытием Архимеда в механике было введение понятия центра тяжести, т.е. доказательство того, что в любом теле есть единственная точка, в которой можно сосредоточить его вес, не нарушив равновесного состояния.

Из истории науки. Греческие математики и механики Герон Александрийский (время жизни отнесено к 10-75 гг. первого века н.э. на том основании, что он приводит в качестве примера лунное затмение 13 марта 62 г. н.э.) и Папп Александрийский (года жизни примерно: первая половина ІІІ в. н.э., поскольку 18 октября 320 г. н.э. он наблюдал солнечное затмение, о чем написал в своем комментарии к «Альмагесту») приводят со ссылкой на Архимеда доказательство существования центра тяжести. Герон предваряет теорему фразой, относящейся к рассмотрению Архимедом идеализированных «физико-математических» тел (метод абстракции). Герон пишет: «Никто не отрицает, что о наклонении и отклонении в действительности говорят только о телах. Если же мы говорим о плоских или телесных (объемных) фигурах, что некоторая точка является их центром поворота и центром тяжести, то это достаточно разъяснено Архимедом». Эта фраза подтверждает применение метода моделирования – новшеством, введенным Архимедом в теоретические исследования.

Архимедово определение центра тяжести и теорема о его существовании в пересказе Паппа: «...центром тяжести некоторого тела является некоторая расположенная внутри него точка, обладающая тем свойством, что если за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно останется в покое и сохранит первоначальное положение».

Архимед решил ряд задач на нахождение центров тяжести различных геометрических фигур: треугольника, параллелограмма, конуса, сегмента параболы.

В современной интерпретации можно встретить несколько определений центра тяжести.

Центр тяжести тела – точка твердого тела, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на элементарные массы этого тела при любом его положении в пространстве.

Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на все тела системы, равен нулю.

Проще говоря, центр тяжести – это точка, к которой приложена сила тяжести независимо от положения самого тела. Если тело однородное, центр тяжести обычно расположен в геометрическом центре тела. Таким образом, центр тяжести в однородном кубе или однородном шаре совпадает с геометрическим центром этих тел.

Если размеры тела малы по сравнению с радиусом Земли, то можно считать, что силы тяжести всех частиц тела образуют систему параллельных сил. Их равнодействующая называется силой тяжести, а центр этих параллельных сил – центром тяжести тела.

Координаты центра тяжести тела могут быть определены по формулам (рис. 7.1):

, , ,

где  – вес тела x_i, y_i, z_i – координаты элементарной частицы, весом Р_i;.

Формулы для определения координат центра тяжести тела являются точными, строго говоря, лишь при разбиении тело на бесконечное число бесконечно малых элементарных частиц весом Р_i. Если же число частиц, на которые мысленно разбито тело, конечное, то в общем случае эти формулы будут приближенными, так как координаты x_i, y_i, z_i при этом могут быть определены лишь с точностью до размеров частиц. Чем меньше эти частицы, тем меньше будет ошибка, которую мы сделаем при вычислении координат центра тяжести. К точным выражениям можно прийти лишь в результате предельного перехода, когда размер каждой частицы стремится к нулю, а число их неограниченно возрастает. Как известно, такой предел называется определенным интегралом. Поэтому фактическое определение координат центров тяжести тел в общем случае требует замены сумм соответствующими им интегралами и применения методов интегрального исчисления.

Если масса внутри твердого тела или механической системы распределяется неоднородно, то центр тяжести смещается в ту часть, где оно тяжелее.

Центр тяжести тела не всегда даже может находиться внутри самого тела. Так, например, центр тяжести бумеранга находится где-то посередине между оконечностей бумеранга, но вне самого тела бумеранга.

Для крепления грузов положение центра тяжести очень важно. Именно в эту точку приложены силы тяжести и инерционные силы, действующие на груз в процессе движения. Чем выше находится центр тяжести тела или механической системы, тем более оно склонно к опрокидыванию.

Центр тяжести тела совпадает с центром масс.

 

3 Условия равновесия

 

Статику разделяют на геометрическую и аналитическую.

В основе аналитической статики лежит принцип возможных перемещений, дающий общие условия равновесия любой механической системы.

Геометрическая статика основывается на аксиомах, выражающих свойства сил, действующих на материальную частицу и абсолютно твёрдое тело:

1) две силы, действующие на материальную точку, имеют равнодействующую, определяемую по правилу параллелограмма сил;

2) две силы, действующие на материальную точку (или абсолютно твёрдое тело), уравновешиваются только тогда, когда они одинаковы по численной величине и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны;

3) прибавление или вычитание уравновешенных сил не изменяет действия данной системы на твёрдое тело. При этом уравновешенными называются силы, под действием которых свободное твёрдое тело может находиться в покое по отношению к инерциальной системе отсчёта.

Методами геометрической статики изучается статика твёрдого тела. При этом рассматриваются решения двух типов задач:

1) приведение систем сил, действующих на твёрдое тело, к простейшему виду;

2) определение условий равновесия сил, действующих на твёрдое тело.

Определим условия равновесия сил, действующих на твёрдое тело. В общем случае динамика твердого тела описывается двумя уравнениями:

1) ІІ-м законом Ньютона: ;

2) основным уравнением динамики вращательного движения .

Равновесие – это состояние твердого тела, при котором все точки тела в выбранной системе отсчета. Для состояния равновесия ускорение и угловое ускорение равны нулю. Следовательно, уравнения динамики принимают форму условий равновесия:

1 Геометрическая сумма всех сил, действующих на тело в состоянии покоя, равна нулю:

.

2 Алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело в состоянии равновесия, равна нулю:

.

Если момент силы вращает тело по часовой стрелке, то его записывают со знаком «+», против часовой стрелки – со знаком «–».

Выделяют три вида равновесия:

1 Устойчивое – это равновесие, при котором тело при малом отклонении от положения равновесия возвращается в это положение.

2 Неустойчивое – это равновесие, при котором тело при малом отклонении от положения равновесия уходит от этого положения.

3 Безразличное – это равновесие, при котором тело при малом отклонении от положения равновесия оказывается в новом положении равновесия.