Теорема об изменении момента количества движения

Пусть материальная точка M движется под действием силы P (рисунок 6.2). Момент этой силы относительно произвольного неподвижного центра O определится:

MO (P)= r ´ P.

Момент количества движения LO

Рисунок 6.2

относительно этого же центра будет соответственно равен:

MO (mu) = LO = r ´ mu,

или по модулю:

LO = mur sin (r, mu)= muh,

é кг × м2 ù

[ LO ] = ê с ú .

Найдем производную по времени от

ë û

LO:

dLO

= d

(r ´ mu) = dr ´ mu + r ´ d ( mu ) = u ´ mu + r ´ ma.

dt dt dt dt

Так как векторы u и mu направлены по одной прямой, то

u ´ (mu ) = 0. Тогда, с учетом того что ma = P, получим:

dLO dt

= r ´ P = MO

(P). (6.4)

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно произвольного неподвижного центра равна моменту силы, действующей на материальную точку, относительно того же центра.

Кинетический момент механической системы

KO равен

геометрической сумме моментов количеств движения

LiO

ее точек:

KO = å LiO = å ri ´ miui .

Тогда просуммировав выражение (6.4), с учетом того что

O i

å M (P j)= 0, получим:

dKO dt

= å M

(Pe ).

O i

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно произвольного неподвижного центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил, действующих на механическую систему относительно того же центра.

z i

Относительно, например, оси z:

dKz