2020-05-12
116
Если тело движется поступательно прямоли- нейно, а сила, приложенная к нему, постоянна по модулю и направлению (рисунок 7.1), то работа силы определится скалярным произведением
вектора силы P на вектор перемещения D r точки приложения силы:
A = P × D r
или по модулю
A = P × D r × cos(P, D r).
Так как
D r = s, то
A = Ps cos a, [ A ]= [Н × м]= [Дж].
Если 0 £ a < 90°, то работа положительна. Если a = 90°, то работа равна нулю.
Если 90° < a £180°, то работа отрицательна.
Если движение криволинейно, а сила изме- няется по величине и направлению (рисунок 7.2), то траекторию движения следует разбить на бесконечно малые элементарные участки ds.
Рисунок 7.2
Тогда элементарная работа d A
определится:
силы P
d A = Pds cos(P, t),
где ds – приращение дуговой координаты (алгебраическая величина).
|
Разложим силу P на составляющие (проекции на естественные оси):
Pt = P cos(P, t);
Pn = P cos(P, n). Тогда элементарная работа будет равна:
d A = Pt ds. (7.1)
Уравнение (7.1) показывает, что работу на элементарном участке ds
| | |
совершает только касательная составляющая Pt силы P; работа
нормальной составляющей
Pn, перпендикулярной направлению вектора
скорости u точки M, равна нулю.
Представим элементарную работу силы как скалярное произведение:
d A = P × dr, где dr – элементарное перемещение.
Тогда в проекции на декартовы оси координат получим:
d A = Pxdx + Pydy + Pzdz.
 |
Полная работа силы на каком-либо конечном перемещении AB равна:
A = ò d A = ò(Pxdx + Pydy + Pz dz). (7.2)
A A
Рисунок 7.3
Работа силы тяжести
Определим работу силы тяжести G, действующей на материальную точку M, на перемещении AB, величина которого мала по сравнению с радиусом Земли (рисунок 7.3). В этом случае модуль и направление силы тяжести постоянны.
Воспользуемся выражением (7.2). Для этого определим проекции силы
G на декартовы оси координат:
Gx = 0; Gy = 0; Gz = - G.
Тогда работа силы G при перемещении материальной точки M из положения A в положение B будет равна:
z 2 z 2
A = ò (- G) dz = - G ò dz = - G (z 2 - z 1 ) = G (z 1 - z 2 ),
z 1 z 1
где
z 1 - z 2 = h – величина вертикального перемещения точки M, м. Таким образом, работа силы тяжести определяется выражением:
A = ± Gh.
Знак «+» соответствует перемещению материальной точки вниз, а
знак «» – перемещению материальной точки вверх.
Работа силы тяжести не зависит от вида траектории, по которой движется точка ее приложения, а зависит лишь от расстояния между горизонтальными плоскостями, проходящими через начальное и конечное положения точки приложения силы.
Работа силы упругости
Рассмотрим пружину AB, конец A которой закреплен неподвижно (рисунок 7.4).
При растяжении пружины будет возникать сила, стремящаяся вернуть ее в положение равновесия – сила упругости, модуль которой пропорционален удлинению пружины и равен
Pупр = cx,
где x – величина удлинения пружины, м.
Рисунок 7.4
Определим проекции силы
Pупр
на декартовы оси
координат:
Pупр (x) = - cx;
Pупр (y) = 0;
Pупр (z) = 0.
Тогда работа силы
Pупр
при удлинении пружины на l будет равна:
l l
A = (- cx) dx = A = - c xdx = -
c (l 2 - l 2 )= c
(l 2 - l 2),
ò ò 2
0 2 0
l 0 l 0
где l 0
и l – соответственно начальное и конечное удлинения пружины, м.
Работа силы при вращательном движении тела
Согласно уравнению (7.1), элементарная работа внешней силы, приложенной к i -й точке тела вращаю- щегося вокруг вертикальной оси z (рисунок 7.5), определится:
d Ae = Peds.
Так как
i it
dsi = hidj, то
|
|
i
(Pe )× dj.
Рисунок 7.5
При действии нескольких сил:
|
|
|
|
e – главный момент внешних сил относительно оси z, Н× м.
|
M j = 0, тогда полная работа на
|
|
|
M e = const, то
A = ò
j 0
|
|
|
M edj.
A = M e
j 0
dj = M e (j - j ).
Мощность силы – работа, совершаемая силой в единицу времени. Средняя мощность определяется выражением:
|
 |
[ N ] = é Дж ù = [Вт].
ëê c úû
Истинная мощность в данный момент времени определится по формуле:
N = d A .
dt
При поступательном движении d A = P × dr:
N = P × dr
= P × dr
= P × u = Pu cos(P, u).
dt dt
|
M edj e
N = z = M z w.
dt
