Самостоятельная работа «Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом стереометрии»

Вариант 1

1. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А₁, В₁ и М₁. Найдите длину отрезка ММ₁, если отрезок АВ не пересекает плоскость и если АА₁= 6 дм, ВВ₁= 8 дм;

2. Точки С и К лежат в плоскости β, а точка D вне плоскости β. Найдите расстояние от точки D до отрезка СК, если СD= КС =10см, а DК= 4 см.

3. В пространстве даны три точки M, K и P такие, что МК = 13 см, МР = 14 см и КР = 15 см. Найдите площадь треугольника МКР.

Вариант 2

1. Через концы отрезка АС и его середину В проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А₁, С₁ и В₁. Найдите длину отрезка ВВ₁, если отрезок АС не пересекает плоскость и если АА₁= 10 дм, СС₁= 12 дм;

2. Точки М и В лежат в плоскости β, а точка К вне плоскости β. Найдите расстояние от точки К до отрезка МВ, если МК = 14см, КВ = 18см, МВ = 16 см.

3. В пространстве даны три точки M, K и P такие, что МК = 11 см, МР = 12 см и КР = 13 см. Найдите площадь треугольника МКР.

Тема 4. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей

Тема 4.1. Параллельность прямых и плоскостей.

Контрольная работа № 4 по теме «Параллельность прямой и плоскости»

Вариант 1

1. Плоскость α пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках D и Е соответственно, причем АС ║ α. Найдите АС, если ВD: АD = 3:4 и DE = 10 см.

2. Отрезок АВ пересекает плоскость α, точка С – середина АВ. Через точки А, В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках А₁, В₁ и С₁. Найдите СС₁, если АА₁= 4 дм и ВВ₁ = 6 дм

Вариант 2

1. Плоскость β пересекает стороны КМ и МР треугольника КМР в точках А и В соответственно, причем КР ║ β. Найдите КР, если МА: АК = 2:7 и АВ = 12 см.

2. Отрезок АС пересекает плоскость α, точка В – середина АС. Через точки А, В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках А₁, В₁ и С₁. Найдите ВВ₁, если АА₁= 14 дм и СС₁ = 16 дм

Самостоятельная работа

Задание: изготовить модели многогранников.

Самостоятельная работа

Задание: подготовить сообщение на тему «История тригонометрии, ее роль в изучении естественно-математических наук».

 

Самостоятельная работа.

Задание: изготовить модель тригонометрического круга на плотной бумаге формата А4.

Показать линии тангенса и котангенса.

  Контрольная работа № 5 по теме «Параллельность плоскостей»

Вариант 1

№ 1. Дан треугольник МКР. Плоскость α, параллельная прямой МК, пересекает сторону МР этого треугольника в точке М₁, а сторону КР – в точке К₁. Найдите длину отрезка М₁К₁, если РК: РК₁=9:5 и МК=27см.

№ 2. Параллельные плоскости  и  пересекают стороны угла АКС в точках М₁ и М₂, Р₁ и Р₂ соответственно. Найдите М₁М₂, если Р₁Р₂=45 см, М₁Р₁: М₁К = 4: 5.

№ 3. Точка М лежит между параллельными плоскостями  и . Прямые а и b, проходящие через точку М пересекают плоскость  в точках А₁, А₂, а плоскость  в точках В₁ и В₂. Найдите МВ₂, если А₁А₂: В₁В₂ = 3:5 и А₂В₂ =16см.

№ 4. Дан треугольник АВС. Точка Е принадлежит стороне АВ, точка К принадлежит стороне ВС, причем ВЕ: ВА = ВК: ВС= 2: 5.Через прямую АС проходит плоскость α, не совпадающая с плоскостью треугольника АВС. Докажите, что ЕК ║ α. Найдите длину отрезка АС, если ЕК = 4см.

Вариант 2

№ 1. Дан треугольник МРЕ. Плоскость а, параллельная прямой МЕ, пересекает сторону МР этого треугольника в точке М₁, а сторону РЕ – в точке К₁. Найдите длину отрезка МЕ, если МР: М₁Р=9:3 и М₁К₁=13 см.

№ 2. Параллельные плоскости  и  пересекают стороны угла АВС в точках М₁ и М₂, К₁ и К₂ соответственно. Найдите К₁К₂, если М₁М₂= 14см,

ВМ₂: М₂К₂ = 7: 11.

№ 3. Точка С лежит между параллельными плоскостями  и . Прямые а и b, проходящие через точку С пересекают плоскость  в точках А₁, А₂, а плоскость  в точках В₁ и В₂. Найдите СВ₂, если А₁А₂: В₁В₂ = 6:10 и А₂В₂ =8см.

№ 4. Дан треугольник АВС. Точка М принадлежит стороне АВ, точка К принадлежит стороне ВС, причем ВМ: МА = 3: 4.Через прямую МК проходит плоскость α, параллельная прямой АС. Докажите, что ВС: ВК = 7: 3. Найдите длину отрезка МК, если АС = 14см

Вариант 1

№ 1. Дан треугольник МКР. Плоскость α, параллельная прямой МК, пересекает сторону МР этого треугольника в точке М₁, а сторону КР – в точке К₁. Найдите длину отрезка М₁К₁, если РК: РК₁=9:5 и МК=27см.

№ 2. Параллельные плоскости  и  пересекают стороны угла АКС в точках М₁ и М₂, Р₁ и Р₂ соответственно. Найдите М₁М₂, если Р₁Р₂=45 см, М₁Р₁: М₁К = 4: 5.

№ 3. Точка М лежит между параллельными плоскостями  и . Прямые а и b, проходящие через точку М пересекают плоскость  в точках А₁, А₂, а плоскость  в точках В₁ и В₂. Найдите МВ₂, если А₁А₂: В₁В₂ = 3:5 и А₂В₂ =16см.

№ 4. Дан треугольник АВС. Точка Е принадлежит стороне АВ, точка К принадлежит стороне ВС, причем ВЕ: ВА = ВК: ВС= 2: 5.Через прямую АС проходит плоскость α, не совпадающая с плоскостью треугольника АВС. Докажите, что ЕК ║ α. Найдите длину отрезка АС, если ЕК = 4см.

Вариант 2

№ 1. Дан треугольник МРЕ. Плоскость а, параллельная прямой МЕ, пересекает сторону МР этого треугольника в точке М₁, а сторону РЕ – в точке К₁. Найдите длину отрезка МЕ, если МР: М₁Р=9:3 и М₁К₁=13 см.

№ 2. Параллельные плоскости  и  пересекают стороны угла АВС в точках М₁ и М₂, К₁ и К₂ соответственно. Найдите К₁К₂, если М₁М₂= 14см, ВМ₂: М₂К₂ = 7: 11.

№ 3. Точка С лежит между параллельными плоскостями  и . Прямые а и b, проходящие через точку С пересекают плоскость  в точках А₁, А₂, а плоскость  в точках В₁ и В₂. Найдите СВ₂, если А₁А₂: В₁В₂ = 6:10 и А₂В₂ =8см.

№ 4. Дан треугольник АВС. Точка М принадлежит стороне АВ, точка К принадлежит стороне ВС, причем ВМ: МА = 3: 4.Через прямую МК проходит плоскость α, параллельная прямой АС. Докажите, что ВС: ВК = 7: 3. Найдите длину отрезка МК, если АС = 14см

Контрольная работа № 7. Вариант 1

Уровень А

1. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:

а)     б)     в)   г)

2. Представьте выражение в виде корня из числа или выражения:

   а)     б)    в)    г)

3. Вычислите:   

  а)       б)      в)    г)    д)

4. Вычислите:

а) ;                 б)  ;               в) ;          г) () .

5. Расположите числа в порядке возрастания:   

6. Решить иррациональные уравнения:  а) ; б) ; 

Уровень Б

 7. Найдите значение выражения: ;                

8. Упростите:          а)     б)  ;                   

 9. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:

а) б)

10. Решите иррациональные уравнения:

а) ; б) ; в) .

Вариант 2

Уровень А Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:

а)     б)     в)   г)

2. Представьте выражение в виде корня из числа или выражения:

   а)     б)    в)    г)

3. Вычислите:    а)       б)      в)    г)    д)

4. Вычислите:      а)  ;                 б)  ;               в) ;          г) () .

5. Расположите числа в порядке возрастания:

6. Решите иррациональные уравнения: а) ; б) ;

Уровень Б 7. Найдите значение выражения: ;                 

8. Упростите:     а) б)  ;                         

 

9. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:

а)   б)

10. Решите иррациональные уравнения:

а) ; б) ; в) .

 

            Контрольная работа №8. «Перпендикулярность прямых и плоскостей»

Вариант 1

1. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВД на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АD=4м, ВС=7м, СD=1м.

2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если наклонные относятся как 1:2, а проекции наклонных равны 1см и 7см.

3. Телефонная проволока длиной 13 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 10 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 15м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

4. Отрезок АВ пересекает плоскость в точке О. Прямые АD и ВС, перпендикулярные этой плоскости, пересекают ее в точках D и С соответственно. Найдите длину отрезка АВ, если АD =12см, ВС=4см, ОС=3см.

Вариант 2

1.  Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях,   опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АD=ВС=5м, СD=1м

2. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 17 см и 15 см. Проекция одной из них на 4 см больше проекции другой. Найдите проекции наклонных

3. Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстояние 4м, соединены перекладиной. Высота одного столба 7м, а другого – 10 м. Найдите длину перекладины. 

4. Отрезок АВ пересекает плоскость в точке О. Прямые АD и ВС, перпендикулярные этой плоскости, пересекают ее в точках D и С соответственно. Найдите длину отрезка АВ, если АD =18см, ВС=6см, ОС=4,5см.