2020-05-11
202
Определение 20. Векторным произведением векторов 
на вектор 
называется вектор 
, такой, что:
1) его длина равна площади параллелограмма, построенного на векторах 
и 
:
;
2) он перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов:
;
3) направление вектора 
определяется по правилу «правой тройки», то есть кратчайший поворот от вектора 
(первого множителя) к вектору (второму множителю) из конца вектора 
виден против хода часовой стрелки.
Векторное произведение и обозначается 
.
Если известны координаты векторов:
, 
,
то векторное произведение вычисляется по формулам:
,
.
Свойства векторного произведения
Свойство 1. 
– закон антикоммутативности.
Свойство 2. 
– закон ассоциативности.
Свойство 3. 
– закон дистрибутивности.
Свойство 4. 
; для того чтобы два вектора были параллельны (коллинеарны), необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулю.
Свойство 5. 
; векторный квадрат вектора равен нулевому вектору.
Свойство 6. Геометрический смысл векторного произведения: длина векторного произведения векторов и равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах (пункт 1) определения).
Смешанное произведение трёх векторов
Определение смешанного произведения
Определение 21. Смешанным произведением трёх векторов , и называется число, скалярному произведению первого вектора на векторное произведение двух других. Смешанное произведение векторов , и 
обозначается 
. Таким образом,
.
В определении смешанного произведения можно векторно умножить вектор на вектор , а затем полученный вектор скалярно умножить на вектор 
.
Если известны координаты векторов:
, , 
,
то векторное произведение вычисляется по формулам:
,
