Определение 20. Векторным произведением векторов на вектор называется вектор , такой, что:
1) его длина равна площади параллелограмма, построенного на векторах и :
;
2) он перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов:
;
3) направление вектора определяется по правилу «правой тройки», то есть кратчайший поворот от вектора (первого множителя) к вектору (второму множителю) из конца вектора виден против хода часовой стрелки.
Векторное произведение и обозначается .
Если известны координаты векторов:
, ,
то векторное произведение вычисляется по формулам:
,
.
Свойства векторного произведения
Свойство 1. – закон антикоммутативности.
Свойство 2. – закон ассоциативности.
Свойство 3. – закон дистрибутивности.
Свойство 4. ; для того чтобы два вектора были параллельны (коллинеарны), необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулю.
Свойство 5. ; векторный квадрат вектора равен нулевому вектору.
|
|
Свойство 6. Геометрический смысл векторного произведения: длина векторного произведения векторов и равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах (пункт 1) определения).
Смешанное произведение трёх векторов
Определение смешанного произведения
Определение 21. Смешанным произведением трёх векторов , и называется число, скалярному произведению первого вектора на векторное произведение двух других. Смешанное произведение векторов , и обозначается . Таким образом,
.
В определении смешанного произведения можно векторно умножить вектор на вектор , а затем полученный вектор скалярно умножить на вектор .
Если известны координаты векторов:
, , ,
то векторное произведение вычисляется по формулам:
,